dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

Обычно, протокол Диффи-Хеллмана (DH) описывают на примере вычетов, то есть, арифметики остатков. Это так называемый классический вариант реализации протокола, который тоже используется на практике. При этом, протокол успешно обобщается на другие математические структуры, лишь бы они обладали некоторыми специальными свойствами. Эти свойства весьма важны для применимости протокола на практике.

Посмотрим на классический вариант DH: s = G^ab == G^ba (mod P), а именно – мы выбрали некоторое большое простое число P, выбрали натуральное G < P (это значение называют генератором), а в рамках операций протокола возводим G в секретную степень a или b по модулю P. Другими словами – вычисляем остаток от деления на P. Из привычного свойства степеней выводится нужное равенство, означающее, что стороны придут к одинаковому значению секрета s. Уже при разборе классического варианта можно обнаружить первое важнейшее общее свойство, о котором нередко забывают.

Действительно, стороны обмениваются значениями G^a и G^b по открытому каналу, соответственно, атакующему нужно вычислить a или b, по известному значению G^a или G^b. Почему же атакующий не может просто последовательно возводить G в натуральные степени, чтобы на каком-то шаге получить G^a (или G^b, но для примера возьмём только a), определив, таким образом, секретное значение? Ответ на этот вопрос такой: будем выбирать значение a достаточно большим, чтобы полный прямой перебор оказался вычислительно недоступным. Например, последовательно перебрать уже 2¹²⁸ значений, для нашей задачи, весьма и весьма затруднительно. (Техническая оговорка: классический протокол DH на практике использует значения гораздо большей разрядности – 4096 бит и больше; это связано с особенностями криптоанализа именно классического DH, и не должно нас смущать: 4096 бит, после применения некоторых оптимизаций, как раз превращаются, примерно, в 196 “честных” битов.) Итак, атакующий не может перебрать все показатели степени последовательно, потому что это очень долго. Но как же тогда быть сторонам, использующим DH, они же тоже возводят G в степень большой разрядности? Это и есть первое арифметическое свойство, необходимое для успешного обобщения DH.

Так как каждая сторона протокола знает своё секретное значение, она может воспользоваться тем, что, например, 16 == (2²)². То есть, вместо трёх умножений – ограничиться всего двумя: (2*2)*(2*2). Очевидно, что один раз вычислив 4 == 2*2, можно использовать 4 дальше. Зная нужное значение показателя, процесс вычисления нетрудно разбить на повторное “удвоение” (здесь – в смысле степени, но это весьма важный и более общий термин) и умножение на основание: 3⁵ == 3²*3²*3 == 243. Существенная экономия вычислительных ресурсов, которая выводится из того, что умножение в целых числах не зависит от расстановки скобок: a×a×a×a×a == (a×a)×(a×a×a) == a×(a×a×a×a). Вместо того, чтобы 128 раз умножать 3 на 3, вычисляя 3¹²⁹, можно поступить проще: 3¹²⁹ == 3¹²⁸*3 == (3⁶⁴)²*3 и т.д., рекурсивно. Всё это может показаться очевидным для целых чисел, особенно, если учесть тот факт, что описанный метод естественным образом отображается на двоичное представление, привычное для компьютерных вычислений. Однако при обобщении протокола DH данное свойство трансформируется: необходимо, чтобы арифметические операции в новой структуре позволяли выполнять “быстрое удвоение”. “Быстрое” – в смысле количества вычислительных операций.

Наличие “операций” подразумевает, что структура, на которую мы пытаемся перенести протокол DH, предполагает некоторую арифметику. Обычно, говорят о коммутативной группе: множестве с бинарной операцией, которая введена таким образом, что является ассоциативной, коммутативной, ей соответствует нейтральный элемент и взятие обратного элемента. Если новая структура – коммутативная (абелева) конечная группа, то протокол DH может на ней заработать без изменений. Именно поэтому DH работает на эллиптических кривых: точки кривой образуют абелеву группу, арифметика которой, очевидно, позволяет быстро вычислять удвоения (см. пример ECDH с числами). В некоммутативном случае – всё сложнее, прежде всего потому, что структурное разнообразие некоммутативных групп гораздо больше абелевых. Мы некоммутативный случай здесь не рассматриваем.

Итак, следующая особенность DH – это протокол достаточно высокого уровня, чтобы его можно было переносить на другие структуры, с подходящей арифметикой. Обычно – на группы. Естественным препятствием здесь является наличие сложности решения обратной задачи. Если у нас есть функция DH с параметром, отображающая элемент новой структуры в другой элемент, задаваемый параметром, то эту функцию должно быть сложно обратить. В случае классического варианта протокола, скажем, что параметр – это показатель степени, а функция может быть представлена как S = G^x. Тогда обратная задача – это задача дискретного логарифмирования: нужно отыскать x, по известным G и S. Для эллиптической кривой обратная задача, обеспечивающая возможность переноса обобщённого DH, это задача вычисления показателя кратности (скаляра) x по двум известным точкам: S = xG. Например, в случае суперсингулярных (не будем вдаваться в технические подробности) эллиптических кривых протокол ECDH может оказаться уязвимым, поскольку существуют практические методы быстрого решения задачи дискретного логарифмирования для некоторых из этих кривых (методы эти позволяют свести задачу к вычетам, то есть, к области классического DH, но это детали). Как ни странно, это совсем не означает, что суперсингулярные эллиптические кривые не годятся для реализации DH.

Примером использования DH в совсем другом математическом окружении является постквантовый протокол CSIDH. С одной стороны, этот протокол работает на весьма экзотических объектах из области теоретической математики, а именно, на кольцах эндоморфизмов (и изогениях) эллиптических кривых (опять же, не обязательно понимать, что это такое), с другой стороны, применяемый алгоритм на уровне логики полностью аналогичен классическому DH, хоть и использует весьма нетривиальные превращения в качестве основной операции.

На этот раз проблемы приключились с авторитативными серверами, на которые делегирована зона facebook.com – к ним нет доступа из российских и, например, европейских сетей. (Надо заметить, что следом сломались и остальные сервисы Facebook. Скорее всего, опять что-то напутали на уровне сетевого транспорта, с маршрутами.)

Как, принципиально, может выглядеть протокол подключения к скрытому сервису, использующий обычную глобальную DNS в качестве источника начальных данных? Понятно, что простая отправка запроса с именем “скрытого” сервиса в DNS – сразу же всё демаскирует: анализирующая трафик сторона увидит имя, так как запросы передаются в открытом виде. Если для сокрытия DNS-запроса использовать DNS-over-TLS или DNS-over-HTTPS, то всё равно имя увидит резолвер. Поэтому первичный запрос должен выполняться с некоторым маскирующим именем. Это имя соответствует точке распределения криптографических ключей, которые используются большим количеством сервисов. Предполагается, что при помощи полученного открытого ключа программа-клиент сможет зашифровать настоящее имя конкретного сервиса, скрыв его от всех сторон, кроме тех, у которых есть соответствующий секретный ключ. Естественно, маскирующее имя должно быть известно клиенту заранее (возможно, он получает его по какому-то дополнительному каналу, либо начальный набор таких имён встроен в дистрибутив клиента, а действующий состав постоянно обновляется – см. ниже).

Сейчас такие же идеи предлагаются для защиты TLS-соединений с веб-сервисами, да и не только TLS, и, вообще говоря, не только для веба. Например, в SVCB/HTTPS.

“Инфраструктурная” логика тут довольно простая и сводится к построению некоторого “тумана войны” (fog of war) на уровне базового транспорта глобальной Сети. После внедрения таких технологий, для пассивного анализатора трафика, даже обладающего обширными наборами инспектирующих узлов, вся метаинформация о сессиях на уровне приложений сведётся к двум элементарным транспортным слоям: в первом слое будут IP-адреса обменивающихся пакетами узлов; а во втором слое – минимальные “транскрипты”, соответствующие начальному обмену ключами. Более того, воссоздать второй слой будет весьма трудно, так как его отдельные элементы окажутся размазаны по разным протоколам разных уровней (UDP, IP, TCP, DNS, TLS и др.). Хитрость в том, что и клиент, и сервер могут использовать при поиске подходящих узлов метод “угадывания с предварительной информацией”, а именно – осуществлять попытки соединения, перебирая адреса и ключи по известному алгоритму, извлекая их из известного списка. Это требует дополнительных вычислительных затрат, однако для пары узлов, действующих кооперативно, эти затраты будут несравнимо меньше того объёмы вычислений, которые нужны прослушивающей стороне для раскрытия небольшой части метаинформации о соединении. (Да, некоторые из перечисленных принципов используются продвинутыми ботнетами, но тут уж ничего не поделать.)

Соответственно, приложения, применяя лишь DNS в качестве отправной точки, смогут быстро приспосабливаться к изменению сетевого транспорта, например, в ситуации, когда доступ к узлам по каким-то конкретным реквизитам (адресам/именам) оказывается невозможен. На самом деле, тут даже не важно, по какой причине: адрес может быть зафильтрован/заблокирован, а может быть недоступен из-за аварии. Если взглянуть на ситуацию в максимальной общности, то окажется, что сейчас развивается некоторый (условно) новый вариант “BGP уровня приложений”, но сразу с встроенными криптографическими механизмами.

Оборотной стороной является весьма и весьма большой риск того, что выиграют здесь крупнейшие интернет-корпорации, которым гораздо проще и создать массивы точек входа, и внести механизмы использования этих точек входа на сторону клиента (прежде всего – в браузеры).

На сайте ТЦИ опубликована очередная моя статья. На этот раз о том, как DNS может использоваться для размещения информации, необходимой для работы других протоколов. Например, в DNS могут размещаться криптографические ключи, нужные для установления соединения со скрытым сервисом. Конечно, имя, выбранное для размещения ключей, вовсе не обязательно должно совпадать с именем скрытого сервиса: извлечённые из DNS ключи позволят и расшифровать настоящее имя или адрес “точки входа”, и защитить трафик ещё до установления соединения. Почитайте:

Весьма вероятно, что в ближайшие несколько лет DNS сильно укрепит свою роль в работе Интернета, став источником информации, необходимой для гибкой, адаптирующейся под изменения сетевого транспорта, настройки протоколов на стороне клиента.

https://tcinet.ru/press-centre/articles/7511/

Цитата из моей статьи, опубликованной в “Открытых системах” в 2019 году, про развитие методов контроля над интернет-трафиком:

Среди перспектив развития систем контроля трафика (именно контроля) можно отметить пропуск только авторизованного трафика. Конечно, такой вариант пока кажется фантастикой. Авторизация трафика — это развитие схемы с белыми списками. В этом случае доступ по спискам IP-адресов и имен не ограничивается, но промежуточные узлы пропускают только трафик, который содержит специальные криптографические маркеры, подтверждающие его легитимность. Коммуникация остается двусторонней, поэтому маркеры выставляются источником и получателем — приложениями, работающими на оконечных узлах, а также всеми промежуточными узлами. Для генерации валидных маркеров требуется секретный ключ, который находится внутри приложения, а для получения ключа приложение должно пройти сертификацию.

https://www.osp.ru/os/2019/01/13054741

Какими базовыми свойствами должно обладать приложение (например, для смартфона) и соответствующий сервис, которые претендуют на роль современного суперзащищённого мессенджера? Часть “супер-” – здесь важна. Это не конкретные технические свойства, а, скорее, свойства-признаки, позволяющие строить предположения о реальной безопасности и “приватности” приложения. Дело в том, что про такие приложения периодически делают какие-то заявления, в стиле, что “разработали” или “разработают”, но далеко не всегда заявления сопровождаются подробным содержательным описанием проекта. Все приведённые ниже свойства довольно трудно реализовать, а сам список – скорее иллюстрирует сложность построения системы. Возможно, подобных популярных приложений пока не появилось именно по причине этой сложности.

Естественно, конкретный набор свойств, их интерпретация – зависят от выбранной модели угроз. В нашем случае, с целью экономии букв, конкретная модель угроз вынесена за скобки. Так как описываемые свойства это не технические требования, а признаки, позволяющие составить предварительное мнение о степени безопасности конкретного типа приложения, просто встанем на “фольклорную” точку зрения и предположим, что гипотетический мессенджер должен защищать от продвинутого технического противника, который перехватывает и подменяет трафик, а также может проводить другие активные атаки на любых технических уровнях. Поэтому в список даже не входят рассуждения о том, что типичный смартфон-носитель не контролируется его пользователем, а уже одно это легко сводит к нулю все утверждения о защищённости приложения.

Итак, список свойств. Некоторые из них совсем очевидны, некоторые – очевидны в меньшей степени, есть и неочевидные.

1. Ни в каком виде не должно быть авторизации по телефонному номеру. Тем более – привязки аккаунта к телефонному номеру. Телефонный номер – это ресурс оператора связи. Следует считать, что оператор связи решает собственные задачи и вовсе не собирается участвовать в обеспечении безопасности очередного “безопасного” мессенджера.

2. Не должно быть централизованного инструмента для “восстановления аккаунта”. То есть, если пользователь совсем потерял все свои реквизиты доступа, то, к сожалению, это означает, что он потерял и доступ, без возможности восстановления. Дело в том, что наличие централизованного инструмента восстановления аккаунта (типа, “получите код в SMS”), означает, что внутри мессенджера встроен механизм перехвата аккаунтов. Ключевое понятие здесь: “централизованный”. Это, естественно, не отменяет дополнительных резервных реквизитов и защищённых распределённых инструментов восстановления доступа.

3. Идентификация аккаунта проводится по отпечатку некоторого криптографического ключа (или “токена”), секретная часть которого находится у пользователя. Этот принцип соблюдается далеко не всегда, но только такой вариант позволяет разделить “адресацию” на уровне сообщений пользователей и всю прочую адресацию (IP-адреса узлов, доменные имена, телефонные номера и пр.). Привязка идентификатора к реальному пользователю происходит за пределами мессенджера.

4. Протоколом обмена сообщениями должен быть предусмотрен механизм внешней доверенной проверки подлинности ключей и идентификаторов. Это, грубо говоря, некоторый способ, позволяющий без использования самого мессенджера проверить, что предъявленный конкретному пользователю ключ другого пользователя – действительно принадлежит этому другому пользователю, а не промежуточному серверу (например).

5. Должно быть опубликовано подробное описание используемого протокола (протоколов) обмена сообщениями, охватывающее, кроме прочего, все базовые логические блоки в деталях. При этом требуется встроенный в протоколы механизм проверки того, что приложение работает именно по этим протоколам.

6. Исходный код приложений (клиентских, серверных, “промежуточных” и пр.) должен быть открыт и опубликован. Так сказать, в “максимальной разумной общности”: то есть, вместе со всеми “дополнительными библиотеками”, если таковые используются существенным образом. Это не означает, что нужно включать в состав кода приложения, скажем, реализацию IP из модулей ядра ОС: потому что логика мессенджера не должна зависеть от реализации сетевого транспорта. Публикация исходных кодов, пожалуй, самый непрозрачный момент. С одной стороны – само по себе раскрытие исходников не гарантирует ни отсутствия ошибок, ни отсутствия закладок (да и вообще ничего не гарантирует); с другой – ожидать, в данном случае, какой-то особой защищённости от приложения с закрытым кодом ещё труднее (см. следующий пункт). Код должен быть обозримым (а этого трудно достигнуть).

7. Необходимо наличие документированной и открытой процедуры, которая позволяет из исходного кода получить исполняемый код и проверить, что, во-первых, получилось то, что планировалось, во-вторых, что у всех пользователей получились одинаковые (возможно, с точностью до платформы и окружения) приложения. К сожалению, точное выполнение этого пункта на практике недостижимо, если говорить о сколь-нибудь сложном приложении. Но можно попытаться приблизиться. Понятно, что в процесс доверенной сборки должны включаться и доверенные компиляторы/интерпретаторы. С другой стороны – очевидно, что даже совпадающие побайтно исполняемые файлы могут вести себя различным образом при исполнении в конкретных условиях (зависит от входных данных, системного окружения и т.д.). Однако в публикации неких исходных кодов без проверки того, что используемое всеми приложение действительно как-то с этими кодами связано, тоже смысла не так много, как хотелось бы. Ну, если говорить о гипотетическом суперзащищённом приложении, на практике-то – с лёгкостью используются “бинарники” из дистрибутива ОС.

8. Приложение должно быть максимально независимым от аппаратной платформы и операционной системы. То есть, не должно быть, например, строгой привязки к конкретному “типу смартфонов” или к конкретной компании-разработчику, которая, скажем, славится громкими заявлениями о “своей приверженности обеспечению приватности пользователей”. Вообще, всякая подобная привязка должна наводить на подозрения, что не так всё просто с этим “супербезопасным мессенджером”.

9. Предпочтительно должна использоваться распределённая схема доставки сообщений. Дело в том, что доступность – один из основных критериев супербезопасного мессенджера. Обеспечить гарантированную доступность через центральный сервер весьма сложно (скорее – невозможно): на этом сервере всегда можно отключить, заблокировать кого-то из пользователей. Опять же, это весьма и весьма трудный в реализации пункт, хоть и популярный.

На сайте ТЦИ моя статья, рассказывающая, на этот раз, о технологии DNSSEC, которая позволяет удостоверить адресную информацию в DNS.

Для приложения, умеющего проверять DNSSEC-подписи, выстраивая цепочку доверия от локальной копии корневого ключа, становится не так важно, является ли доверенным доступный источник DNS-записей, например, резолвер провайдера доступа.

“DNSSEC: доверие по цепочке“

Иногда приходится слышать или даже читать, что “никакое уравнение пятой степени и выше нельзя решить по формуле”. Это неверное утверждение, которое происходит из трактовки важной для истории математики задачи о “разрешимости в радикалах” (здесь речь про алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами). Даже популярные тексты по данному вопросу обычно довольно сложны, начинаются с упоминания не только теории Галуа, но и разных технических терминов, таких как “разрешимые группы”, “автоморфизмы полей” и так далее.

Вообще, уравнение пятой степени x⁵ – 15x⁴ + 85x³ – 225x² + 274x – 120 == 0, например, имеет рациональные корни: 1, 2, 3, 4, 5 (проверьте), а корень уравнения x⁵ – 5 == 0 нетрудно записать “в радикалах” (5^1/5). Когда здесь говорят о “неразрешимости в радикалах”, то речь идёт о том, что существуют уравнения (степени n >= 5), для которых нельзя записать формулу, выражающую все корни через коэффициенты “в радикалах” (и, вообще говоря, таких уравнений очень много – примеры, которые приведены выше, это как раз редкие исключения). Интересно, что центральным моментом тут является как раз возможность записать – именно от неё можно начинать разбор ситуации. С одной стороны, можно представить себе некоторый калькулятор, который выполняет с комплексными числами четыре привычных действия (+, -, *, ÷) и позволяет извлекать корни (√ – это и есть “радикалы”). Комплексные числа тут необходимы потому, что без них достичь универсальности не выйдет даже для кубических уравнений с рациональными корнями – ведь комплексные числа и были обнаружены в ходе построения универсальных формул решения кубических уравнений (формула Кардано). С другой стороны, конечно, никакой реальный калькулятор не может считать даже в действительных числах, что уж там говорить про комплексные, где с радикалами возникают дополнительные проблемы.

Поэтому про формулу “в радикалах” лучше всего думать в том ключе, что она позволяет корни записать точно. Например, написать √2 или ∛5. Потому что точно выписать значение √2 в десятичной, например, системе нельзя, а вот обозначить число, квадрат которого равен двум, символом √2 – можно, и это будет точное обозначение. Например, если число ∛5 возвести в третью степень, то получится рациональное число 5, то есть, значение как бы запрыгивает в рациональные числа. Это важное для теории наблюдение: коэффициенты уравнения тоже рациональные, а выражение их в радикалах подразумевает, что существует способ запрыгнуть в рациональные через возведение в степень. Этому соответствует обратная операция – извлечение корня n-й степени. Собственно, вся классическая теория строится вокруг этого факта, но соответствующие симметрии оказываются весьма сложными для понимания: заметьте, что корни должны переставляться, сохраняя истинность некоторых соотношений между ними. Так, если уравнение квадратное, а корни a и b, то такие соотношения это (a + b) и a*b (формулы Виета). Неразрешимость в радикалах означает, что “радикальных формул”, позволяющих точно записать корни, не существует совсем. Для уравнений степени меньше пяти – такие формулы есть, и они даже универсальные, то есть, подходят для произвольного уравнения. А вот для степени пять и выше – нельзя выписать не только универсальную формулу, но даже и “специальную” для каждого (произвольного) уравнения.

Техническая оговорка, которую можно пропустить, тут состоит в том, что препятствие на уровне пятой степени возникает из-за особенной симметрии, соответствующей перестановкам пяти корней уравнения: нельзя спуститься от пятой степени к четвёртой, сохраняя “коммутативность” перестановок в общем виде; а вот от четвёртой – спуститься уже можно.

Из всего этого, конечно, не следует, что формулу невозможно предложить для конкретного уравнения. Более того, если расширить доступные операции, добавить в их перечень особые функции, то корни уже удастся записать точно, ну или с “точностью до новых обозначений”, если хотите. Это, впрочем, отдельная история.

Существование неразрешимых в радикалах уравнений пятой степени доказали Руффини и Абель, а в максимальной общности эту задачу решил Галуа (1832, но опубликованы его работы были позже). Галуа смог понять почему такие уравнения неразрешимы, впервые увидев структуры, на которых позже построили существенную часть современной алгебры. Сейчас тот аппарат, который касается именно уравнений, называют классической теорией Галуа. А в современной математике теория Галуа превратилась в большой самостоятельный инструмент, для которого, как и для всей современной алгебры, поиск решений уравнений уже не является фундаментальным аспектом.

Если есть какие-то пожелания и предложения касательно того, что добавить в ежегодное обновление описания TLS, то сообщите, пожалуйста, в комментариях к этой записке (или почтой).