dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

Если взглянуть на “график” эллиптической кривой из недавней записки про протокол Диффи-Хеллмана, то практически сразу можно заметить, что эта картинка обладает хорошо различимой симметрией (как минимум, с горизонтальной осью). Поэтому часто задают вопрос: как же так, это же криптография, а картинка настолько регулярная? Предполагается, что криптографические объекты обязательно должны быть неотличимы от шума.

Вообще-то, в криптографии сплошь и рядом используются симметричные (во многих смыслах) инструменты, а “неотличимость от шума” возникает только в результате применения этих инструментов к числовым последовательностям. Тем не менее, с картинкой эллиптической кривой интересно разобраться подробнее.

Что именно отображено на картинке (см. рисунок выше)? Каждой точке соответствует пара значений — элементов конечного поля. Сами эти элементы, обозначенные натуральными числами, формируют горизонтальную и вертикальную оси. А поскольку значения отображаются парами, то вся картинка соответствует F×F. Пары элементов — это пары, удовлетворяющие уравнению кривой: y² = x³ + 2020x² + x. Обратите внимание, что слева здесь квадрат, и уже из этого вытекает необходимость симметрии на картинке.

Возьмём более наглядный пример. На картинке ниже – нарисованы точки эллиптической кривой y² = x³ + 17x² + 1 над полем из 101 элемента; горизонтальная черта – разделяет “график” на верхнюю и нижнюю части (симметричные). Для двух точек – написаны их координаты: (26, 53) и (26, 48).

Почему точки симметричны? Потому что они обратные, их сумма в группе точек эллиптической кривой равна нулю (нейтральному элементу группы). Координаты X у этих точек совпадают, а координаты Y – обратные по сложению в базовом поле: 53 + 48 == 101, а это 0 (mod 101). Как уже упоминалось выше, левая часть уравнения – квадрат. Это означает, что у нас обязательно есть два элемента поля, соответствующих подстановке элемента 26 в правую часть. Полностью аналогично привычному 2² == (-2)² == 4. Проверяем: 53² (mod 101) == 48² (mod 101) == 82, а 82 == (26³ + 17*26² + 1) (mod 101). Понятно, что в группе, по определению, у каждого элемента есть обратный, поэтому картинка “ветвится” таким образом.

Стойкость протокола Диффи-Хеллмана, в рассматриваемом воплощении, базируется на сложности задачи дискретного логарифмирования – то есть, задачи отыскания скаляра, на который умножается известная точка кривой, по результату этого умножения (подробнее см. здесь). Конечно, на практике используются кривые с гораздо большим числом точек, чем рассмотренные выше, но симметрии никуда не деваются. Более того, иногда симметрии (далеко не столь очевидные, как на наших картинках) помогают построить чисто математические атаки на криптосистемы. При этом сложность алгоритмов состоит не в “зашумлении” (за исключением шифров), а в том, чтобы найти обратный путь по некоторому, пусть и симметричному, лабиринту.

Адрес записки: https://dxdt.ru/2020/06/29/8910/