Триплеты из цифр и системы счисления

Запись чисел при помощи цифр различных систем счисления нередко приводит к недопониманию у тех, кто не очень хорошо представляет себе разницу между числами и их записью. Например, могут предположить, что 11 и 0x11 (в шестнадцатеричной записи, далее такая запись обозначается привычным префиксом) это одно и то же число, ну, как 7 и 0x7. Нетрудно наткнуться и на смешение свойств числа и его записи: то есть, на неверное представление о том, что какие-то свойства чисел соответствуют именно записи (запутывающее сочетание 0x100 == 2^8). Впрочем, всё это не мешает занимательным свойствам позиционных систем счисления интересным образом преобразовываться при переходе от одной системы к другой, сохраняя именно запись (то есть, цифры).

Так, если 1001001 умножить на 321, то получим 321321321. Почему? Очевидно: мы умножаем (10^6 + 10^3 + 10^0) на (10^2*3 + 10^1*2 + 10^0*1), то есть (10^6 + 10^3 + 10^0)*321. Известный, пусть и не очень широко, факт: всякое число, содержащие ровно три одинаковых тройки цифр в своей записи, делится на 333667. Примеры:
321321321/333667 == 963 == 3^2 * 107
111111111/333667 == 333 == 3 * 111
701701701/333667 == 2103 == 3 * 701

(Конструкция, конечно, переносится и на кратные записи, то есть, когда количество триплетов кратно трём.)

Выглядит занимательно. Причина в том, что на 333667 делится 1001001 == 3*333667. А 333667 – простое число. В записи 333667 нетрудно увидеть поразрядные “переносы единицы” при умножении на три. Можно ли найти число с такими же свойствами в шестнадцатеричной записи? Можно. Если в десятичной записи 3*3 == 9 == 10 – 1, где 10 – основание системы, то в шестнадцатеричной аналогом будет 3*5 == 15 == 0x10 – 1. Обратите внимание, что здесь 0x10 шестнадцатеричная запись числа 16, основания системы. Число другое, но нам здесь важны как раз некие свойства записи (а именно – позиция единицы). Искомое число – 0x555aab. Заметьте, что шестнадцатеричное 0xa равно 10 в десятичной системе, то есть, 5*2 (так же как и 3*2 == 6). Проверяем: 0x555aab * 0x3 == 0x1001001 (но это 16781313 в десятичной записи). Поэтому 0x321321321 делится на 0x555aab, а результат равен 0x963 (см. примеры в десятичной системе выше). Однако найденное нами “опорное” число хоть и полностью подходит по “свойствам” записи, но является составным: 0x13*0x25*0x49*0x6d == 0x555aab.

А вот в восмеричной системе ситуация иная. Число 0o1001001 (префикс 0o – обозначает восмеричную запись) – простое, а именно – 262657 == 8^6 + 8^3 + 8^0. Поэтому не получится найти делитель, который подходил бы для построения конструкции, аналогичной десятичной и шестнадцатеричной системам. Интересно, что число 46656216001 == 60^6 + 60^3 + 60^0 тоже простое. Это означает, что и в древней шестидесятеричной системе конструкция не сработает. Что ж, зато в десятичной системе 296296296296296296296296296/333667 == 888000000888000000888. Проверьте на калькуляторе.

()

Похожие записки:



Далее - мнения и дискуссии

(Сообщения ниже добавляются читателями сайта, через форму, расположенную в конце страницы.)

Написать комментарий

Ваш комментарий:

Введите ключевое слово "219WU" латиницей СПРАВА НАЛЕВО (<--) без кавычек: (это необходимо для защиты от спама).

Если видите "капчу", то решите её. Это необходимо для отправки комментария ("капча" не применяется для зарегистрированных пользователей). Обычно, комментарии поступают на премодерацию, которая нередко занимает продолжительное время.