dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

В радикалах корни алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами возможно записать только в редких случаях – про это рассказывает отдельная записка. Интересно, что этот, – казалось бы, технический, – момент можно трактовать ещё строже, воспользовавшись теоретическими трудностями арифметики в действительных числах. То есть, коэффициенты уравнения – рациональные числа, которые можно точно записать любым привычным способом. Некоторые корни некоторых из этих уравнений тоже можно записать не менее привычным способом, поскольку данные корни – рациональные числа, как и коэффициенты. Но другие корни оказываются совершенно иной числовой природы (если вообще числовой – тут тоже возможны разные трактовки, связанные, как ни странно, с понятием вычислимости). Так, √2 точно выписать в десятичной системе нельзя. С общепринятой сейчас теоретической точки зрения такие действительные числа – это некоторые бесконечные процессы (даже не просто бесконечные, а “бесконечные в квадрате”; поэтому, собственно, точная практическая арифметика с ними и оказывается невозможной). Получается, что корнями уравнения с рациональными (целыми) коэффициентами могут быть и бесконечные процессы. Естественно, всё это работает, только если допустить в схему действительные числа, но звучит загадочно и чем-то напоминает квантовую механику, если задуматься.

Всё это, кстати, связано и с подсчётом количества корней уравнений. Можно принять, что “бесконечные процессы” в качестве корней уравнений данного типа не допускаются. Геометрически, – пусть и несколько неожиданным образом, – это означает, что не всякие кривые, которые “пересекают” рациональную числовую координатную ось, имеют с этой осью общие точки. Потому что иррациональное число √2, например, не принадлежит множеству точек оси. А на другом конце геометрической интерпретации оказывается бесконечный процесс, возникающий в ходе геометрического доказательства иррациональности √2.

Адрес записки: https://dxdt.ru/2023/02/05/9525/