Бесконечные процессы как корни уравнений

В радикалах корни алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами возможно записать только в редких случаях – про это рассказывает отдельная записка. Интересно, что этот, – казалось бы, технический, – момент можно трактовать ещё строже, воспользовавшись теоретическими трудностями арифметики в действительных числах. То есть, коэффициенты уравнения – рациональные числа, которые можно точно записать любым привычным способом. Некоторые корни некоторых из этих уравнений тоже можно записать не менее привычным способом, поскольку данные корни – рациональные числа, как и коэффициенты. Но другие корни оказываются совершенно иной числовой природы (если вообще числовой – тут тоже возможны разные трактовки, связанные, как ни странно, с понятием вычислимости). Так, √2 точно выписать в десятичной системе нельзя. С общепринятой сейчас теоретической точки зрения такие действительные числа – это некоторые бесконечные процессы (даже не просто бесконечные, а “бесконечные в квадрате”; поэтому, собственно, точная практическая арифметика с ними и оказывается невозможной). Получается, что корнями уравнения с рациональными (целыми) коэффициентами могут быть и бесконечные процессы. Естественно, всё это работает, только если допустить в схему действительные числа, но звучит загадочно и чем-то напоминает квантовую механику, если задуматься.

Всё это, кстати, связано и с подсчётом количества корней уравнений. Можно принять, что “бесконечные процессы” в качестве корней уравнений данного типа не допускаются. Геометрически, – пусть и несколько неожиданным образом, – это означает, что не всякие кривые, которые “пересекают” рациональную числовую координатную ось, имеют с этой осью общие точки. Потому что иррациональное число √2, например, не принадлежит множеству точек оси. А на другом конце геометрической интерпретации оказывается бесконечный процесс, возникающий в ходе геометрического доказательства иррациональности √2.

Адрес записки: https://dxdt.ru/2023/02/05/9525/

Похожие записки:



Далее - мнения и дискуссии

(Сообщения ниже добавляются читателями сайта, через форму, расположенную в конце страницы.)

Написать комментарий

Ваш комментарий:

Введите ключевое слово "FSS8G" латиницей СПРАВА НАЛЕВО (<--) без кавычек: (это необходимо для защиты от спама).

Если видите "капчу", то решите её. Это необходимо для отправки комментария ("капча" не применяется для зарегистрированных пользователей). Обычно, комментарии поступают на премодерацию, которая нередко занимает продолжительное время.