dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

Построим аппаратную электронную схему (классическую, на каких-нибудь привычных “обобщённых” транзисторах, а не “квантовую”), которая вычисляет экспоненту по модулю заданного числа, достаточно большого. Предположим, что подсчёт при помощи данной аппаратуры, нужный для факторизации этого заданного большого числа, требует выполнения, примерно, 2^2048 операций вычисления экспоненты. Это очень много, но позволяет сломать RSA. Тут возникает вопрос времени, который можно сформулировать несколько неожиданным образом: если это 2^2048 тактов, то можно ли тактировать нашу аппаратную схему на примерно такой же частоте, в тактах в секунду, чтобы вычисления за секунду и закончились? Выглядит абсурдно. А вдруг так можно было? Можно было сделать такой волшебный каскадный задающий генератор, каждый каскад которого увеличивает частоту в два раза, и, начав с мегагерца (или с 2^20), добраться к концу протяжённой схемы до 2^2048 герц (примерно)?

Почему такой подход не работает? Всякий человек, знакомый с реальными электронным схемами, скажет, что аппаратура должна бы перестать генерировать какие-то различимые транзисторами такты несравнимо раньше, чем сигнал вообще доберётся до выходного каскада с расчётными 2^2048 герц. А аппаратная схема “с транзисторами” перестанет работать ещё раньше из-за, так сказать, исчезновения фронтов сигналов: дело даже не в квантах, не в скорости света, а в том, что на соответствующих отрезках времени, если бы их и можно было выразить “в квадратурах”, никаких ЭМ-сигналов просто нет. Но сложность вычислений – есть, а непрерывность времени – подразумевается при переходе к квантовым алгоритмам. Алгоритм Шора использует совпадающую по теоретическим функциональным характеристикам аппаратуру (там тоже вычисляется экспонента). А только что описанная классическая сложность здесь успешно уезжает в непрерывность вероятностей – как известно, в континуум влезает и не такое, да не просто влезает, а ещё можно потом извлечь в несколько раз больше.

Теоретическая сложность алгоритма Шора – полиномиальная. Экспоненциальная часть, которая не выражается “в привычном времени”, сворачивается в непрерывность комплексных коэффициентов, используемых в формулах. Это не только к алгоритму Шора относится, конечно. Это базовое свойство: всякий вычислительный процесс квантового компьютера можно эмулировать на классическом, но только сложность экспоненциально вырастет. Работает ли это же в обратную сторону? При проектировании алгоритмов – вполне себе работает, а результат сворачивания прямо влияет и на измерение времени в квантовых схемах. Получение синхронного времени составляет здесь отдельную проблему, поскольку, вообще говоря, привычные способы синхронизации противоречат основной идее, так как требуют “измерения” состояний (как квантовать время, если речь строго про обратимые процессы? это хитрый философский вопрос). Естественно, хорошо известно, что практические измерения имеют погрешность, а записать полностью десятичное разложение корня из двух – не получится. Но, возможно, это не мешает применить непрерывность для квантовых вычислений: существенно более мощное направление предлагает использовать не два “полюса” кубитов, а всё бесконечномерное пространство – потому что состояние даже и кубита, описываемое формулами, непрерывное, да и корень из двух туда вполне влезает (это измеримых результатов – два).

Вообще, если смотреть со стороны, то иногда кажется, что существенная часть современной квантовой физики неразрывно связана с уточнением коэффициентов, с которыми всё более дальние знаки десятичного разложения числа Пи входят в формулы. Посмотрите, например, на “интерпретации погрешностей”, которые приводят к предложению новых, вполне теоретических, элементарных частиц по результатам экспериментов. И вот именно поэтому нужно попробовать всё же построить квантовый компьютер на тысяче кубитов. Ну или на одном. На одном непрерывном элементе.

Адрес записки: https://dxdt.ru/2023/12/14/11887/