dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

Немного про понимание определения комплексных чисел, и о том, почему “квадратные корни из минус единицы” не должны вызывать никаких проблем и сомнений, сами по себе.

Комплексные числа – это пары действительных чисел (x, y), операции с которыми производятся по следующим правилам:

сумма:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

произведение (пишем иксы слева):

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ − y₁*y₂, x₁*y₂ + x₂*y₁).

Здесь операции внутри скобок – привычные операции в действительных числах. Но интерпретируются строго пары! Из пар можно аккуратно спуститься в действительные числа, зафиксировав один из элементов пары и забыв про то, что это пара элементов (см. ниже).

Собственно, это всё, что нужно для понимания в историческом контексте. Все остальные современные “надстройки” – именно “надстройки”: они вводятся над только что описанной конструкцией.

Сложение для пар проверяется элементарно. С умножением чуть-чуть сложнее, но, например, сразу получается, что i (мнимая единица) это (0, 1). Проверяем для i*i = i^2:

(0, 1)*(0, 1) = (0*0 − 1*1, 0*1 + 0*1) = (-1, 0)

Выходит, в наших обозначениях, i*i = i^2 = (-1, 0). Поэтому-то можно записывать комплексные числа, заданные парой (x, y), в форме x + y*i. Но это просто способ записи (удобный по ряду причин, которые тут не важны).

Вернувшись к парам в скобках, можно все действительные числа записывать в форме (x, 0), где x – любое действительное число, в “привычном” понимании. Это, опять же, соглашение. Тогда получается, что i^2 = (-1, 0) – это и есть -1 (“минус единица” в действительных). Всё сходится. Но обратите внимание, что запись (0, 1) для i – она не укладывается в форму (x, 0). Потому что i не лежит в действительных числах. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому никаких “корней из минус единицы” там быть не может. А вот в виде пар (x, y), с описанными выше операциями, – пожалуйста, можно записывать.

Проверим нужное свойство квадрата для отрицательного числа -121, будем возводить в квадрат число (0, √121). Здесь 0 – слева, а корень квадратный из 121 (положительного!) – справа. Всё это действительные числа. 121 – положительное действительное, нет никаких противоречий:

(0, √121)*(0, √121) = (0*0 − √121*√121, 0*√121 + 0*√121) = (-121, 0).

Сходится. Тут все задействованные числа – действительные. Но тут нет никаких “отрицательных квадратов” действительного числа. Просто, числа связываются в пары. Переход от действительных чисел к парам (от R к R^2, если хотите) – это очень просто. И как только этот переход охвачен пониманием, тут же перестаёт казаться удивительным широко тиражируемый факт, что i – это, как бы, квадратный корень из минус единицы (на самом деле – нет, не квадратный корень, это лишь некоторое наложение обозначений, вполне типичное, – см. ниже).

Вообще, действительные числа – куда как более загадочный объект. Их очень сложно, если вообще возможно, определить. Попытки строгого построения действительных чисел тут же сталкиваются с инструментами анализа, вроде бесконечных последовательностей и сходимости, что неминуемо уводит в философские аспекты математики, начиная с логики и аксиоматического построения теории множеств. Комплексные числа, на этом фоне, выглядят прозаично. И никакой проблемы с “несуществованием” квадратных корней из отрицательных чисел – нет вообще. Да и не было.

Что же придумывали для кубических уравнений дель Ферро, Кардано и другие итальянские математики 16 века?

Они придумывали “калькулятор”, позволяющий находить корни уравнений при помощи зафиксированной последовательности некоторых операций. Это называется “решение в радикалах”. И вот оказалось, что одной из новых операций стала обработка выражений вида √-9. Почему это необходимо для процесса решения кубических уравнений – в максимальной общности объяснил Галуа, в 19 веке. Но ещё в веке 16 стало понятно, что для того, чтобы такие операции заработали в новом калькуляторе, нужны пары действительных чисел. Тогда можно найти пару (0, 3), которая, при умножении на себя согласно правилам, описанным выше, даст (-9, 0), а уже это значение можно спустить в действительные числа, получив там -9 (проверьте сами). То есть, квадрат (0, 3) даёт действительное -9. Да, из-за отсутствия современной нотации это не прописывалось прямо, в формулах, а проговаривалось словами и в других терминах. Отсюда и рассуждения про “тонкости арифметики”.

Итак, мы нашли пару (0, 3). Означает ли это, что мы нашли действительный квадратный корень из отрицательного числа (из числа минус девять)? Нет, не означает. В действительных числах квадрат любого числа, отличного от нуля, – положителен, по определению, и не важно, по какую сторону от нуля это число лежит – квадрат всё равно будет справа, будет положительным.

А что же с “корнем из минус единицы”?

Оказывается, знак радикала (√) тут нужно рассматривать как часть обозначения. То есть, это не операция извлечения квадратного корня в действительных числах, как, например, в случае трактовки √4 = 2. Радикал и “минус единица” – это обозначение внешнего элемента, квадрат которого равен “минус единице”. Поскольку этот элемент, как число, не может принадлежать к действительным числам, радикал идёт тут вместе с записью “минус единицы”. Не более. Аналогично тому, как √2 можно понимать как обозначение числа, квадрат которого равен рациональному числу 2.

Поэтому-то обозначения √-1 следует избегать. Поэтому нельзя использовать такой вариант обозначения в учебных целях (если, конечно, речь не про объяснение того, почему некорректно так делать). Как только знак радикала перепутывается в понимании с привычным обозначением операции, возникает неприятное противоречие – так как, по правилам операции, получается, что i^2 = √(-1)*√(-1) = √((-1)*(-1)) = √1 = 1, что, очевидно, неверно. В общепринятых обозначениях избежать этого можно так: мы обозначаем i как i, а свойства вводим так: i^2 = -1. А в схеме с парами значений – просто пишем (0, 1), и никаких трудностей.

Адрес записки: https://dxdt.ru/2026/01/02/16835/