dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

Визирь поместил в тёмную комнату слона и позвал нескольких мудрецов, которые слона никогда не видели. Предупредив мудрецов о том, что в комнате слон, визирь предложил им пройти в комнату и “исследовать слона на ощупь”, а потом словами описать, какой он, этот загадочный слон. Посетившие комнату мудрецы сильно разошлись в своих описаниях слона: “он как толстое дерево”, “он как большая змея”, “он плоский, как лист пальмы”. Но слон-то был один, слон-то был един, а проблемы с предложенными его описаниями локализовались (во всех смыслах), как только визирь вывел животное из комнаты и представил взору мудрецов, но уже в статусе единого объекта.

Обычно считается, будто эта старинная и хорошо известная притча рассказывает о том, что есть различный частный опыт, а с другой стороны – большой единый слон, ощупыванием которого частный опыт создаётся. Это, однако, не так: фундаментальный смысл притчи в другом. Притча рассказывает, что настоящее осознание находится на уровне визиря, который затеял всё мероприятие, чтобы подшутить над мудрецами. Визирь-то хорошо понимает процесс, приводящий к рассечению образа единого слона на различные представления через ограниченные темнотой познавательные способности мудрецов. Уши, хобот, ноги – не так важно, на каком шаге комбинирования из них получается слон. Важно, что сам процесс онтологического спектакля, осознанный визирем, находится на таком высоком уровне абстракции, что в него не то что слон целиком вкладывается, но ещё и преобразования в локальные области точек зрения разных мудрецов, вместе с самими мудрецами и комнатой.

Если выбрать систему координат таким образом, что Солнце движется в ней прямолинейно со скоростью несколько сотен км/сек., то траектория Земли окажется кривой, напоминающей синусоиду. В этой системе координат Земля вовсе не “вращается вокруг Солнца”, в том “наивном” смысле, что не описывает окружность, в центре которой Солнце.

Для навигации на поверхности Земли – удобны другие системы координат, в которых Солнце вращается вокруг Земли, поскольку она зафиксирована. Расхожее утверждение, что “Земля вращается вокруг Солнца” – не более чем фигура речи, пусть и очень популярная. Например, для того, чтобы получить существенные вычислительные преимущества при предсказании астрономических событий Солнечной системы, наблюдаемых с Земли, самой по себе гелиоцентрической системы не достаточно, нужно ещё учитывать геометрию орбит планет, иначе потребуется, как и в развитом геоцентрическом случае, вводить множество дополнительных “параметров”, чтобы наблюдения как-то сходились с моделью.

Существенные искажения смысла, которые сейчас встречаются повсеместно (см. надавнюю записку про соцопрос), возможно, вызваны таким явлением, как упрощённый, массовый “научпоп”: почему-то стало принято считать, будто уровень знаний достиг таких высот, что всё вокруг, от движения планет и устройства космических телескопов до систем связи пятого поколения и превращений элементарных частиц в ускорителях, очень просто, легко и, главное, детально, объясняется “физикой за пятый класс”. Сама “физика за пятый класс” при этом никак не определяется, поскольку важным признаётся именно подход, подразумевающий эквивалентность простых “утверждений”, которые легко запомнить (без осознания), и “научной грамотности”.

Вернёмся к движению планет. То, что Солнце существенно больше Земли, а наблюдаемое движение светила по небу можно объяснить при помощи модели, в которой именно Земля движется вокруг, выяснили ещё древние греки. Но, скажем, измерение годичного параллакса звёзд, как подтверждение движения Земли по орбите, удалось произвести только в 19 веке. Следует ли считать, что до этого момента утверждение “Земля вращается вокруг Солнца” было всего лишь популярным обобщением? Нет, конечно. Это утверждение, в изолированной форме, и сейчас не несёт особого смысла. То есть, процесс выбора моделей мира был длительным, непростым, и не сводился к тому, как сейчас нередко принято объяснять: “Коперник открыл, что Земля вращается вокруг Солнца”. Никаких особенных причин утверждать, что именно Земля движется, нет, а практическое удобство гелиоцентрических систем совсем в другом.

Но главное полезное наблюдение состоит не в этом. Так, в разных системах отсчёта, в разных системах координат, движение светил будет описываться различными формулами, которым соответствуют различные траектории. Результаты нередко выглядят неожиданными: например, траектория Луны, движушейся вокруг Солнца, очень близка к окружности. Действительно, от одной формулы можно перейти к другой. Именно на этом уровне и образуется новое знание, отличающееся от простого заучивания кратких “утверждений”. Это знание позволяет понять, почему разные системы отсчёта, представленные в наивном виде (“Земля вращается вокруг Солнца”), как бы “противоречат” друг другу. То есть, знание, – по крайней мере, математическое, – здесь соответствует механизму разрешения противоречий. Этот механизм находится на пару уровней выше утверждения “Земля вращается вокруг Солнца”. Естественно, астрономические успехи связаны с определением и строгим формулированием элементов этого механизма. На первом этапе – понимание того, что наблюдаемая картина движения светил может быть интерпретирована различными способами. На втором – создание логических конструкций, позволяющих вычленить существенные характеристики того, как различные модели переходят одна в другую, с сохранением наблюдаемого результата. И уже на третьем этапе – выяснение причин такого перехода и их строгое описание. Простое утверждение “Солнце вращается вокруг Земли” не играет сколь-нибудь значительной роли, гораздо важнее понимание того, что подразумевается под “вращением”, насколько это понятие универсально.

“Коммерсант” пишет про результаты соцопроса, которые связывает, ни много ни мало, с “уровнем научной грамотности” (“невысоким”).

“Как показал опрос ВЦИОМа, 35% россиян считают, что Солнце вращается вокруг Земли. О том, что Земля вращается вокруг Солнца, знает 61% респондентов.”

Понятно, что влияет массовый “научпоп”, а опрос – манипулятивный, но всё равно довольно забавно читать выводы о “научной грамотности”, сделанные по результатам ответа на довольно бессмысленный вопрос, который был сформулирован следующим образом: “Согласны ли вы с утверждением: «Солнце вращается вокруг Земли»?”. Проблема в том, что интерпретация предложенного утверждения зависит от используемой модели и системы координат. Так, можно выбрать систему с зафиксированной Землёй в начале координат и, в таком случае, Солнце вращается вокруг Земли. Подобная система оказывается удобной при решении определённых задач. Можно выбрать систему, где началом координат является Солнце, а Земля движется вокруг – такая система хорошо подходит для других задач. А можно привязать начало координат к какому-нибудь далёкому пульсару. Но все эти хитрости не делают конкретную систему “истинной” настолько, чтобы с ней соглашаться или нет. Поэтому, если уж и судить о “научной грамотности”, то, скорее, как раз по высокой доле “неочевидных” ответов.

Запись чисел при помощи цифр различных систем счисления нередко приводит к недопониманию у тех, кто не очень хорошо представляет себе разницу между числами и их записью. Например, могут предположить, что 11 и 0x11 (в шестнадцатеричной записи, далее такая запись обозначается привычным префиксом) это одно и то же число, ну, как 7 и 0x7. Нетрудно наткнуться и на смешение свойств числа и его записи: то есть, на неверное представление о том, что какие-то свойства чисел соответствуют именно записи (запутывающее сочетание 0x100 == 2^8). Впрочем, всё это не мешает занимательным свойствам позиционных систем счисления интересным образом преобразовываться при переходе от одной системы к другой, сохраняя именно запись (то есть, цифры).

Так, если 1001001 умножить на 321, то получим 321321321. Почему? Очевидно: мы умножаем (10^6 + 10^3 + 10^0) на (10^2*3 + 10^1*2 + 10^0*1), то есть (10^6 + 10^3 + 10^0)*321. Известный, пусть и не очень широко, факт: всякое число, содержащие ровно три одинаковых тройки цифр в своей записи, делится на 333667. Примеры:
321321321/333667 == 963 == 3^2 * 107
111111111/333667 == 333 == 3 * 111
701701701/333667 == 2103 == 3 * 701

(Конструкция, конечно, переносится и на кратные записи, то есть, когда количество триплетов кратно трём.)

Выглядит занимательно. Причина в том, что на 333667 делится 1001001 == 3*333667. А 333667 – простое число. В записи 333667 нетрудно увидеть поразрядные “переносы единицы” при умножении на три. Можно ли найти число с такими же свойствами в шестнадцатеричной записи? Можно. Если в десятичной записи 3*3 == 9 == 10 – 1, где 10 – основание системы, то в шестнадцатеричной аналогом будет 3*5 == 15 == 0x10 – 1. Обратите внимание, что здесь 0x10 шестнадцатеричная запись числа 16, основания системы. Число другое, но нам здесь важны как раз некие свойства записи (а именно – позиция единицы). Искомое число – 0x555aab. Заметьте, что шестнадцатеричное 0xa равно 10 в десятичной системе, то есть, 5*2 (так же как и 3*2 == 6). Проверяем: 0x555aab * 0x3 == 0x1001001 (но это 16781313 в десятичной записи). Поэтому 0x321321321 делится на 0x555aab, а результат равен 0x963 (см. примеры в десятичной системе выше). Однако найденное нами “опорное” число хоть и полностью подходит по “свойствам” записи, но является составным: 0x13*0x25*0x49*0x6d == 0x555aab.

А вот в восмеричной системе ситуация иная. Число 0o1001001 (префикс 0o – обозначает восмеричную запись) – простое, а именно – 262657 == 8^6 + 8^3 + 8^0. Поэтому не получится найти делитель, который подходил бы для построения конструкции, аналогичной десятичной и шестнадцатеричной системам. Интересно, что число 46656216001 == 60^6 + 60^3 + 60^0 тоже простое. Это означает, что и в древней шестидесятеричной системе конструкция не сработает. Что ж, зато в десятичной системе 296296296296296296296296296/333667 == 888000000888000000888. Проверьте на калькуляторе.

Некоторые странные заблуждения из области “научпопа” очень долговечны. Например, если заглянуть в статью про Галилея в русскоязычной “Википедии”, то нетрудно обнаружить типовые суждения в стиле “Галилей опроверг (мета)физику Аристотеля”. “Википедия”, конечно, здесь выступает лишь фольклорным зеркалом истории физики, но тем рельефнее выглядит цитата: “В частности, Аристотель утверждал: скорость падения пропорциональна весу тела; движение происходит, пока действует «побудительная причина» (сила), и в отсутствие силы прекращается”.

Да, Аристотель подобное утверждал, но с очень важной оговоркой, которая полностью меняет ситуацию. Аристотель изучал падение тел в среде и рассуждал о максимальной скорости падающего тела. Утверждения Аристотеля, процитированные выше, хорошо соответствуют эксперименту. Действительно, в воздухе свинцовый шарик и клочок ваты, сравнимого размера, будут падать с разной максимальной скоростью, потому что у них различный вес. Конечно, другое дело – вакуум. Однако Аристотель изучал падение не в вакууме. Понятно, что то же самое относится и к “побудительной силе”, если учитывать реальные условия. Поэтому хорошо бы и формулировать иначе: Аристотель утверждал, что при падении в среде, – например, в воздухе, – максимальная скорость, которой может достичь тело, пропорциональна его весу. Но при такой формулировке исчезает вся сенсационность. Получается, что Галилей не “опровергал физику”, а всего лишь обобщил ограничивающие свойства, обусловленные наличием среды, и предложил другую модель, в чём-то более универсальную. Кроме того, всё это знали другие естествоиспытатели, раньше Галилея. Надо заметить, такая интерпретация сильно богаче с точки зрения философии науки, но менее литературна. Поэтому в “Википедии” читаем: “Галилей сформулировал правильные законы падения: скорость нарастает пропорционально времени”. Занятно выглядит слово “правильные”. Как можно понять, что какие-то законы физики – правильные? А если вы сравниваете разные модели при различных “граничных условиях”? Физика, вообще говоря, не претендует на “правильность законов”.

Ссылка по теме: Aristotle’s Physics: a Physicist’s Look, Carlo Rovelli.

Обычно, протокол Диффи-Хеллмана (DH) описывают на примере вычетов, то есть, арифметики остатков. Это так называемый классический вариант реализации протокола, который тоже используется на практике. При этом, протокол успешно обобщается на другие математические структуры, лишь бы они обладали некоторыми специальными свойствами. Эти свойства весьма важны для применимости протокола на практике.

Посмотрим на классический вариант DH: s = G^ab == G^ba (mod P), а именно – мы выбрали некоторое большое простое число P, выбрали натуральное G < P (это значение называют генератором), а в рамках операций протокола возводим G в секретную степень a или b по модулю P. Другими словами – вычисляем остаток от деления на P. Из привычного свойства степеней выводится нужное равенство, означающее, что стороны придут к одинаковому значению секрета s. Уже при разборе классического варианта можно обнаружить первое важнейшее общее свойство, о котором нередко забывают.

Действительно, стороны обмениваются значениями G^a и G^b по открытому каналу, соответственно, атакующему нужно вычислить a или b, по известному значению G^a или G^b. Почему же атакующий не может просто последовательно возводить G в натуральные степени, чтобы на каком-то шаге получить G^a (или G^b, но для примера возьмём только a), определив, таким образом, секретное значение? Ответ на этот вопрос такой: будем выбирать значение a достаточно большим, чтобы полный прямой перебор оказался вычислительно недоступным. Например, последовательно перебрать уже 2¹²⁸ значений, для нашей задачи, весьма и весьма затруднительно. (Техническая оговорка: классический протокол DH на практике использует значения гораздо большей разрядности – 4096 бит и больше; это связано с особенностями криптоанализа именно классического DH, и не должно нас смущать: 4096 бит, после применения некоторых оптимизаций, как раз превращаются, примерно, в 196 “честных” битов.) Итак, атакующий не может перебрать все показатели степени последовательно, потому что это очень долго. Но как же тогда быть сторонам, использующим DH, они же тоже возводят G в степень большой разрядности? Это и есть первое арифметическое свойство, необходимое для успешного обобщения DH.

Так как каждая сторона протокола знает своё секретное значение, она может воспользоваться тем, что, например, 16 == (2²)². То есть, вместо трёх умножений – ограничиться всего двумя: (2*2)*(2*2). Очевидно, что один раз вычислив 4 == 2*2, можно использовать 4 дальше. Зная нужное значение показателя, процесс вычисления нетрудно разбить на повторное “удвоение” (здесь – в смысле степени, но это весьма важный и более общий термин) и умножение на основание: 3⁵ == 3²*3²*3 == 243. Существенная экономия вычислительных ресурсов, которая выводится из того, что умножение в целых числах не зависит от расстановки скобок: a×a×a×a×a == (a×a)×(a×a×a) == a×(a×a×a×a). Вместо того, чтобы 128 раз умножать 3 на 3, вычисляя 3¹²⁹, можно поступить проще: 3¹²⁹ == 3¹²⁸*3 == (3⁶⁴)²*3 и т.д., рекурсивно. Всё это может показаться очевидным для целых чисел, особенно, если учесть тот факт, что описанный метод естественным образом отображается на двоичное представление, привычное для компьютерных вычислений. Однако при обобщении протокола DH данное свойство трансформируется: необходимо, чтобы арифметические операции в новой структуре позволяли выполнять “быстрое удвоение”. “Быстрое” – в смысле количества вычислительных операций.

Наличие “операций” подразумевает, что структура, на которую мы пытаемся перенести протокол DH, предполагает некоторую арифметику. Обычно, говорят о коммутативной группе: множестве с бинарной операцией, которая введена таким образом, что является ассоциативной, коммутативной, ей соответствует нейтральный элемент и взятие обратного элемента. Если новая структура – коммутативная (абелева) конечная группа, то протокол DH может на ней заработать без изменений. Именно поэтому DH работает на эллиптических кривых: точки кривой образуют абелеву группу, арифметика которой, очевидно, позволяет быстро вычислять удвоения (см. пример ECDH с числами). В некоммутативном случае – всё сложнее, прежде всего потому, что структурное разнообразие некоммутативных групп гораздо больше абелевых. Мы некоммутативный случай здесь не рассматриваем.

Итак, следующая особенность DH – это протокол достаточно высокого уровня, чтобы его можно было переносить на другие структуры, с подходящей арифметикой. Обычно – на группы. Естественным препятствием здесь является наличие сложности решения обратной задачи. Если у нас есть функция DH с параметром, отображающая элемент новой структуры в другой элемент, задаваемый параметром, то эту функцию должно быть сложно обратить. В случае классического варианта протокола, скажем, что параметр – это показатель степени, а функция может быть представлена как S = G^x. Тогда обратная задача – это задача дискретного логарифмирования: нужно отыскать x, по известным G и S. Для эллиптической кривой обратная задача, обеспечивающая возможность переноса обобщённого DH, это задача вычисления показателя кратности (скаляра) x по двум известным точкам: S = xG. Например, в случае суперсингулярных (не будем вдаваться в технические подробности) эллиптических кривых протокол ECDH может оказаться уязвимым, поскольку существуют практические методы быстрого решения задачи дискретного логарифмирования для некоторых из этих кривых (методы эти позволяют свести задачу к вычетам, то есть, к области классического DH, но это детали). Как ни странно, это совсем не означает, что суперсингулярные эллиптические кривые не годятся для реализации DH.

Примером использования DH в совсем другом математическом окружении является постквантовый протокол CSIDH. С одной стороны, этот протокол работает на весьма экзотических объектах из области теоретической математики, а именно, на кольцах эндоморфизмов (и изогениях) эллиптических кривых (опять же, не обязательно понимать, что это такое), с другой стороны, применяемый алгоритм на уровне логики полностью аналогичен классическому DH, хоть и использует весьма нетривиальные превращения в качестве основной операции.

Какими базовыми свойствами должно обладать приложение (например, для смартфона) и соответствующий сервис, которые претендуют на роль современного суперзащищённого мессенджера? Часть “супер-” – здесь важна. Это не конкретные технические свойства, а, скорее, свойства-признаки, позволяющие строить предположения о реальной безопасности и “приватности” приложения. Дело в том, что про такие приложения периодически делают какие-то заявления, в стиле, что “разработали” или “разработают”, но далеко не всегда заявления сопровождаются подробным содержательным описанием проекта. Все приведённые ниже свойства довольно трудно реализовать, а сам список – скорее иллюстрирует сложность построения системы. Возможно, подобных популярных приложений пока не появилось именно по причине этой сложности.

Естественно, конкретный набор свойств, их интерпретация – зависят от выбранной модели угроз. В нашем случае, с целью экономии букв, конкретная модель угроз вынесена за скобки. Так как описываемые свойства это не технические требования, а признаки, позволяющие составить предварительное мнение о степени безопасности конкретного типа приложения, просто встанем на “фольклорную” точку зрения и предположим, что гипотетический мессенджер должен защищать от продвинутого технического противника, который перехватывает и подменяет трафик, а также может проводить другие активные атаки на любых технических уровнях. Поэтому в список даже не входят рассуждения о том, что типичный смартфон-носитель не контролируется его пользователем, а уже одно это легко сводит к нулю все утверждения о защищённости приложения.

Итак, список свойств. Некоторые из них совсем очевидны, некоторые – очевидны в меньшей степени, есть и неочевидные.

1. Ни в каком виде не должно быть авторизации по телефонному номеру. Тем более – привязки аккаунта к телефонному номеру. Телефонный номер – это ресурс оператора связи. Следует считать, что оператор связи решает собственные задачи и вовсе не собирается участвовать в обеспечении безопасности очередного “безопасного” мессенджера.

2. Не должно быть централизованного инструмента для “восстановления аккаунта”. То есть, если пользователь совсем потерял все свои реквизиты доступа, то, к сожалению, это означает, что он потерял и доступ, без возможности восстановления. Дело в том, что наличие централизованного инструмента восстановления аккаунта (типа, “получите код в SMS”), означает, что внутри мессенджера встроен механизм перехвата аккаунтов. Ключевое понятие здесь: “централизованный”. Это, естественно, не отменяет дополнительных резервных реквизитов и защищённых распределённых инструментов восстановления доступа.

3. Идентификация аккаунта проводится по отпечатку некоторого криптографического ключа (или “токена”), секретная часть которого находится у пользователя. Этот принцип соблюдается далеко не всегда, но только такой вариант позволяет разделить “адресацию” на уровне сообщений пользователей и всю прочую адресацию (IP-адреса узлов, доменные имена, телефонные номера и пр.). Привязка идентификатора к реальному пользователю происходит за пределами мессенджера.

4. Протоколом обмена сообщениями должен быть предусмотрен механизм внешней доверенной проверки подлинности ключей и идентификаторов. Это, грубо говоря, некоторый способ, позволяющий без использования самого мессенджера проверить, что предъявленный конкретному пользователю ключ другого пользователя – действительно принадлежит этому другому пользователю, а не промежуточному серверу (например).

5. Должно быть опубликовано подробное описание используемого протокола (протоколов) обмена сообщениями, охватывающее, кроме прочего, все базовые логические блоки в деталях. При этом требуется встроенный в протоколы механизм проверки того, что приложение работает именно по этим протоколам.

6. Исходный код приложений (клиентских, серверных, “промежуточных” и пр.) должен быть открыт и опубликован. Так сказать, в “максимальной разумной общности”: то есть, вместе со всеми “дополнительными библиотеками”, если таковые используются существенным образом. Это не означает, что нужно включать в состав кода приложения, скажем, реализацию IP из модулей ядра ОС: потому что логика мессенджера не должна зависеть от реализации сетевого транспорта. Публикация исходных кодов, пожалуй, самый непрозрачный момент. С одной стороны – само по себе раскрытие исходников не гарантирует ни отсутствия ошибок, ни отсутствия закладок (да и вообще ничего не гарантирует); с другой – ожидать, в данном случае, какой-то особой защищённости от приложения с закрытым кодом ещё труднее (см. следующий пункт). Код должен быть обозримым (а этого трудно достигнуть).

7. Необходимо наличие документированной и открытой процедуры, которая позволяет из исходного кода получить исполняемый код и проверить, что, во-первых, получилось то, что планировалось, во-вторых, что у всех пользователей получились одинаковые (возможно, с точностью до платформы и окружения) приложения. К сожалению, точное выполнение этого пункта на практике недостижимо, если говорить о сколь-нибудь сложном приложении. Но можно попытаться приблизиться. Понятно, что в процесс доверенной сборки должны включаться и доверенные компиляторы/интерпретаторы. С другой стороны – очевидно, что даже совпадающие побайтно исполняемые файлы могут вести себя различным образом при исполнении в конкретных условиях (зависит от входных данных, системного окружения и т.д.). Однако в публикации неких исходных кодов без проверки того, что используемое всеми приложение действительно как-то с этими кодами связано, тоже смысла не так много, как хотелось бы. Ну, если говорить о гипотетическом суперзащищённом приложении, на практике-то – с лёгкостью используются “бинарники” из дистрибутива ОС.

8. Приложение должно быть максимально независимым от аппаратной платформы и операционной системы. То есть, не должно быть, например, строгой привязки к конкретному “типу смартфонов” или к конкретной компании-разработчику, которая, скажем, славится громкими заявлениями о “своей приверженности обеспечению приватности пользователей”. Вообще, всякая подобная привязка должна наводить на подозрения, что не так всё просто с этим “супербезопасным мессенджером”.

9. Предпочтительно должна использоваться распределённая схема доставки сообщений. Дело в том, что доступность – один из основных критериев супербезопасного мессенджера. Обеспечить гарантированную доступность через центральный сервер весьма сложно (скорее – невозможно): на этом сервере всегда можно отключить, заблокировать кого-то из пользователей. Опять же, это весьма и весьма трудный в реализации пункт, хоть и популярный.

Иногда приходится слышать или даже читать, что “никакое уравнение пятой степени и выше нельзя решить по формуле”. Это неверное утверждение, которое происходит из трактовки важной для истории математики задачи о “разрешимости в радикалах” (здесь речь про алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами). Даже популярные тексты по данному вопросу обычно довольно сложны, начинаются с упоминания не только теории Галуа, но и разных технических терминов, таких как “разрешимые группы”, “автоморфизмы полей” и так далее.

Вообще, уравнение пятой степени x⁵ – 15x⁴ + 85x³ – 225x² + 274x – 120 == 0, например, имеет рациональные корни: 1, 2, 3, 4, 5 (проверьте), а корень уравнения x⁵ – 5 == 0 нетрудно записать “в радикалах” (5^1/5). Когда здесь говорят о “неразрешимости в радикалах”, то речь идёт о том, что существуют уравнения (степени n >= 5), для которых нельзя записать формулу, выражающую все корни через коэффициенты “в радикалах” (и, вообще говоря, таких уравнений очень много – примеры, которые приведены выше, это как раз редкие исключения). Интересно, что центральным моментом тут является как раз возможность записать – именно от неё можно начинать разбор ситуации. С одной стороны, можно представить себе некоторый калькулятор, который выполняет с комплексными числами четыре привычных действия (+, -, *, ÷) и позволяет извлекать корни (√ – это и есть “радикалы”). Комплексные числа тут необходимы потому, что без них достичь универсальности не выйдет даже для кубических уравнений с рациональными корнями – ведь комплексные числа и были обнаружены в ходе построения универсальных формул решения кубических уравнений (формула Кардано). С другой стороны, конечно, никакой реальный калькулятор не может считать даже в действительных числах, что уж там говорить про комплексные, где с радикалами возникают дополнительные проблемы.

Поэтому про формулу “в радикалах” лучше всего думать в том ключе, что она позволяет корни записать точно. Например, написать √2 или ∛5. Потому что точно выписать значение √2 в десятичной, например, системе нельзя, а вот обозначить число, квадрат которого равен двум, символом √2 – можно, и это будет точное обозначение. Например, если число ∛5 возвести в третью степень, то получится рациональное число 5, то есть, значение как бы запрыгивает в рациональные числа. Это важное для теории наблюдение: коэффициенты уравнения тоже рациональные, а выражение их в радикалах подразумевает, что существует способ запрыгнуть в рациональные через возведение в степень. Этому соответствует обратная операция – извлечение корня n-й степени. Собственно, вся классическая теория строится вокруг этого факта, но соответствующие симметрии оказываются весьма сложными для понимания: заметьте, что корни должны переставляться, сохраняя истинность некоторых соотношений между ними. Так, если уравнение квадратное, а корни a и b, то такие соотношения это (a + b) и a*b (формулы Виета). Неразрешимость в радикалах означает, что “радикальных формул”, позволяющих точно записать корни, не существует совсем. Для уравнений степени меньше пяти – такие формулы есть, и они даже универсальные, то есть, подходят для произвольного уравнения. А вот для степени пять и выше – нельзя выписать не только универсальную формулу, но даже и “специальную” для каждого (произвольного) уравнения.

Техническая оговорка, которую можно пропустить, тут состоит в том, что препятствие на уровне пятой степени возникает из-за особенной симметрии, соответствующей перестановкам пяти корней уравнения: нельзя спуститься от пятой степени к четвёртой, сохраняя “коммутативность” перестановок в общем виде; а вот от четвёртой – спуститься уже можно.

Из всего этого, конечно, не следует, что формулу невозможно предложить для конкретного уравнения. Более того, если расширить доступные операции, добавить в их перечень особые функции, то корни уже удастся записать точно, ну или с “точностью до новых обозначений”, если хотите. Это, впрочем, отдельная история.

Существование неразрешимых в радикалах уравнений пятой степени доказали Руффини и Абель, а в максимальной общности эту задачу решил Галуа (1832, но опубликованы его работы были позже). Галуа смог понять почему такие уравнения неразрешимы, впервые увидев структуры, на которых позже построили существенную часть современной алгебры. Сейчас тот аппарат, который касается именно уравнений, называют классической теорией Галуа. А в современной математике теория Галуа превратилась в большой самостоятельный инструмент, для которого, как и для всей современной алгебры, поиск решений уравнений уже не является фундаментальным аспектом.

Утверждение, что “параллельные прямые пересекаются” сейчас нередко встречается даже в более или менее серьёзных источниках. Например:

“Представим себе двумерное пространство — это легко. Например, бесконечную плоскость, где также справедливы аксиомы Евклида. […] Но можно легко представить и иной вариант — сферу. Это замкнутое конечное пространство, где параллельные прямые пересекаются, а сумма углов треугольника больше 180°”

Это цитата из статьи под названием “Космологический ликбез. Что такое Вселенная“, опубликованной на сайте издания “Троицкий вариант. Наука”.

Понятно, что параллельные прямые – не пересекаются по их определению. Тем более на сфере, где параллельных прямых, в смысле “аксиом Евклида”, нет. В статье, скорее всего, такое нестрогое сочетание использовано на правах фигуры речи. Видимо, среди аксиом здесь имеется в виду и пятый постулат, который, в привычной формулировке, утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной (на плоскости). Да, пятый постулат делает геометрию евклидовой, но интересно понять, откуда происходит сама идея, что “где-то параллельные прямые пересекаются”.

Как ни странно, тут можно вспомнить европейскую живопись 16-17 вв., которая развивалась вместе с проективной геометрией. Способы построения художественной перспективы, определяющие то, как именно трёхмерная сцена сужается в двумерное полотно картины, требуют для изображений различных параллельных линий общей точки, принадлежащей недостижимому горизонту. Это лучше всего видно на тех картинах, где сюжет содержит какую-нибудь подходящую плоскость, замощённую прямоугольниками (или даже квадратами). Я в качестве примера взял работу Бартоломеуса ван Бассена (1651), где описанный только что принцип иллюстрируют сразу и пол, и флаги, и стены.

Если говорить более строго, то на картине “пересекаются” изображения прямых, которые в трёхмерной сцене соответствовали бы параллельным: квадратная плитка, которой замощён пол, порождает два класса таких прямых – на примыкающих краях, и на диагоналях каждой отдельной плитки. Возможно, это не самая лучшая иллюстрация, но принцип вполне виден. Этот принцип исторически стоит за проективной геометрией. Но в геометрии он возник скорее всего из желания систематизировать и обобщить многие геометрические наблюдения на плоскости, которые становятся гораздо проще, если тем или иным способом присоединить к этой плоскости некий бесконечно удалённый “горизонт”.

Так, классическая интерпретация проективной плоскости, основанная на погружении “обычной”, двумерной, плоскости в трёхмерное пространство, построена на сходной идее: вместе с плоскостью (не проективной, а исходной!) рассматриваются несобственные точки, соответствующие тем прямым объемлющего пространства, которые с плоскостью не пересекаются. Рассмотрение этих несобственных точек позволяет говорить о том, что всякие две различные прямые исходной плоскости имеют одну общую точку. И для параллельных (“в евклидовом смысле”) прямых такая общая точка является несобственной, то есть, не принадлежащей исходной “обычной” плоскости, поэтому прямые параллельными быть не перестают. Проективная плоскость же получается присоединением несобственных точек.

Сложно сказать, насколько сильно история изобразительного искусства повлияла на популярное суждение про “пересекающиеся параллельные прямые”, но знакомство с полотнами голландских живописцев свою роль тут наверняка сыграло.