dxdt.ru: занимательный интернет-журнал

Ферма сформулировал самую знаменитую теорему имени Ферма на полях одного из изданий “Арифметики” Диофанта. Труды Диофанта сейчас доступны и в более древних вариантах, чем тот, которым пользовался Ферма. Но, понятно, всё в электронном виде. Однако это позволяет очередной раз взглянуть на древнюю математическую нотацию, чтобы оценить разрыв с нотацией современной.

Воскресное чтение манускриптов. Cегодня – совсем небольшой фрагмент “Арифметики” Диофанта в версии манускрипта 13 века н.э. Vat.gr.191 из коллекции Ватиканской Апостольской библиотеки. Диофант Александрийский, как считается, работал в третьем веке нашей эры, то есть, примерно, за десять веков до написания данного манускрипта. В этом фрагменте (лист 360r) Диофант определяет свою нотацию для записи степеней неизвестной – квадрата, куба и так далее – см. скриншот.

В выделенном фрагменте Диофант пишет (перевод – максимально близко к тексту): “Соответственно, тогда каждое из тех чисел, сокращённое обозначение получив, элементом арифметической теории становится; назовём же теперь квадратную степень, и да станет она обозначаться [буквой] Δ, имеющей сверху Γ, [Δ^γ] степень”.

Дельта здесь – это первая буква δύναμις. На данном манускрипте, как раз, написано с ошибкой – указана строчная буква δ. Почему δύναμις? Это как в русском “динамо-” – “сила, мощь”, но в значении английского power. То есть, это именно степень, но вторая – квадрат.

Дальше идёт третья степень: “Дальше – куб, и с [буквой] Κ, имеющей сверху Γ, Κ^γ – куб”. Каппа здесь, конечно, от κύβος, “кубос” или куб.

Дальнейший текст на скриншоте не выделен, но, на базе этих двух обозначений, для квадрата и куба, Диофант далее систематически строит “составные” степени, вплоть до шестой. Например, Δ^γΔ – “дельта-дельта” или, если хотите буквально, “динамодинамис” – δυναμοδύναμις (середина нижней строки на скриншоте, если хотите прочитать исходник). Δ^γΔ, это, конечно, четвертая степень – потому что “квадрат квадрата”.

На полях данного манускрипта тоже есть заметки – схолии. Но это тема для другой записки.

Небольшой исторический экскурс, про комплексные числа и “квадратный корень из минус единицы”. Читаем исходники Бомбелли. Почему Бомбелли? Потому что без упоминания этого итальянского инженера-математика 16 века не обходится ни один экскурс в историю внедрения комплексных чисел. Про Рафаэля Бомбелли нередко пишут, что он “первым ввёл в обиход комплексные числа”. Несомненно, труд Бомбелли “Алгебра” (L’Algebra) сыграл одну из ключевых ролей в становлении подходов к алгоритмическому пониманию комплексных чисел. Но что именно сформулировал Бомбелли, и как именно? Насколько этот объект похож на современные комплексные числа?

Традиционно ссылаются на небольшой фрагмент из “Алгебры” Бомбелли, в котором прямо определяются правила арифметики для “мнимой единицы”, то есть, для i. Тут, однако, кавычки необходимы: мнимая единица – это в современных терминах; как будет понятно далее, у Бомбелли всё несколько иначе записано.

“Алгебра” Бомбелли написана на итальянском. Чтобы проиллюстрировать различие подходов, я постараюсь в ключевых местах дать дословный перевод текста Бомбелли, максимально близкий к исходнику (ну, на мой взгляд). Это позволит понять, как вообще описывались алгебраические объекты до появления современной нотации, и возможно ли сравнивать объекты непосредственно.

Кстати, современная алгебраическая нотация является настолько огромным достижением сама по себе, что именно её мог бы использовать “попаданец” в средневековое европейское прошлое для эффективного убеждения инквизиторов в том, что он, “попаданец”, реально из будущего. Современные для двадцать первого века теоремы, скажем, типовой “попаданец” не сможет даже сформулировать. Как и убедительно рассказать про “металлических птиц” и “дальновидение”, чтобы обособить свой рассказ от прочих волшебных историй, бытовавших и в средние века – просто, тут необходимо знать слишком много, для “попаданца”. Зато базовая алгебраическая нотация, на уровне записи формул корней квадратного уравнения, нынче хорошо знакома едва ли не каждому, а на образованного инквизитора прошлого произведёт впечатление. Но всё это в художественном произведении, конечно. Почему-то, этот вариант, хоть он простой и доступный, упускают из виду. Вернёмся, впрочем, к итальянской “Алгебре” 16 века.

Ниже дан первый фрагмент скана соответствующей страницы (это издание 1579 года, из библиотеки Linda Hall; страница 169; выделение цветом – моё; в некоторых местах, где допустимо и если не влияет на контекст, – я исправляю опечатки исходника и меняю типографику на современную итальянскую, для лучшего текстового представления, например, u -> v; см. детали ниже).

Итак, итальянский – исходный язык, на котором писал свой труд Бомбелли. Это уже далеко не латынь, но и не совсем современый итальянский – 16 век, всё же. (Знание итальянского для понимания этой заметки не требуется – я все важные слова объясню ниже.) В самом начале страницы, Бомбелли, буквально, пишет (пожирнение тут везде соответствует тексту, выделенному на скане): “Я обнаружил другой тип кубических корней выражений, который сильно отличается от всех других” (“Ho trovato un’altra sorte di R.c.legate molto differenti dall’altre”.)

Здесь сразу же попадается интересный термин: “R.c.legate”, от Radice Cubica Legata, – это обозначение для кубического корня, вычисляемого для некоторого алгебраического выражения (формулы), которое, как сейчас сказали бы, стоит “под радикалом”. Откуда и legata – “связанная” (итальянское radice, “корень” – женского рода; кстати, если вы только изучаете русский, то и “корень” вам тоже может показаться существительным женского рода). В общем, если на русском, то будет “связанный корень” или, что несколько точнее, “присоединённый корень”.

Что тут имеется в виду? Бомбелли определяет соответствующий больший термин – Radice Legata – за несколько десятков страниц до рассматриваемого фрагмента “Алгебры”. И в определении дан такой пример (здесь он записан в современных обозначениях и терминах): пусть кто-то говорит, “найди мне квадратный корень из (7 + √48)”, это означает, что нужно найти такое выражение вида a + √b, которое, “умноженное само на себя, даст (7 + √48)”; такое выражение, пишет Бомбелли, это (2 + √3). Проверяем: (2 + √3)*(2 + √3) = 4 + 4*√3 + 3 = 7 + 4*√3 = (7 + √48). Сходится.

Однако Бомбелли, когда описывает здесь нахождение квадратного корня в подобной форме, не использует термин “квадратный корень”. Он, буквально, пишет: “найди мне сторону” (дословно: trovami il lato). И это, вообще говоря, сторона квадрата, площадь которого равна заданному выражению (с иррациональностью!). Это всё похоже на геометрический подход, разделяющий числа и “величины”.

Нужно отметить, что, как сейчас бы сказали, Бомбеллли строит расширение поля рациональных чисел: потому что (7 + √48) = (7 + 4*√3) – это присоединение к рациональным числам иррационального √3, где √3 – это обозначение числа, квадрат которого равен 3 (определение корней дано у Бомбелли через умножение, а это очень важно). То есть, рассматриваем всевозможные выражения вида a + b*√3, где a, b – рациональные числа. Естественно, во времена Бомбелли абстрактной теории полей ещё не было, как и коммутативной алгебры в современном понимании. Но тем не менее.

Получается, геометрическая интерпретация всё ещё отражена у Бомбелли в терминах (“найти сторону”), но искомые “радикалы” вводятся уже через присоединение “внешнего” корня многочлена, через расширение поля, а не через “углы”, которые сейчас повсеместно связывают с комплексными числами, – например, в радиотехнике, но не только там. Именно алгебраическое определение комплексных чисел через расширение поля (присоединение корня полинома X^2 + 1) и является современным, – “операционным” и алгоритмическим, – вариантом. Угловые меры, как инструмент, конечно, в труде Бомбелли тоже есть, в том числе, при рассмотрении решений кубических уравнений. Но это не комплексные числа, а другой инструмент.

Фактически, “R.c.legate” это запись корня уравнения в кубических радикалах, с присоединением иррациональностей. Но всё же, получается, что речь тут идёт о специальном “радикале”, как способе записи, а не о теоретическом “числовом” объекте. Это следует ещё и из того, что темой соответствующего раздела является решение уравнений третьей степени (формула Кардано, в частности). В современных обозначениях – ∛(a + √d) – кубический корень из выражения, содержащего корень квадратный. Этот последний момент – важен для понимания дальнейшего текста.

Итак, имеем радикалы из выражений вида a + b√d, как способ записи, пригодный для специальных вычислений. Идём дальше – дословный перевод следующего фрагмента со скриншота труда Бомбелли: “эта вещь [радикал] встречается в главе, рассматривающей куб, равный многим ([т.е. кратности неизвестного]) и числу”. Вот этот странный текст про “куб, неизвестное и число”, это есть ни что иное как запись словами уравнения вида x^3 = px + q, если в современных обозначениях. (Далее будем называть здесь q не “числом”, а константой – так понятнее.)

Бомбелли здесь рассматривает куб неизвестного х, слева, и он приравнивается к значению, кратному этому х (p*x), плюс некоторое число (буквально – numero), константа “без неизвестного”, то есть плюс q. Именно такая форма уравнений рассматривается. Вообще, это не единственная используемая “нотация”. Тот же Бомбелли далее в “Алгебре” использует специальную нотацию с отдельным обозначением степеней неизвестной арабскими цифрами (но без формального обозначения самой неизвестной – как сейчас написали бы: x или t). Однако в обсуждаемом фрагменте – тип уравнения назван просто словами. Ни о каких операциях речи ещё не идёт, но тут же вводится важное ограничение, выделяющее интересующий Бомбелли подтип уравнений и приводящее, в итоге, к “мнимым” (или “софистским”) радикалам.

Далее сформулировано условие, что (p^3)/27 больше (q^2)/4, но опять словами, при этом (p^3)/27 = (1/3*p)^3, а (q^2)/4 = (1/2*q)^2. Дословно по тексту: “когда куб одной третьей от кратности [неизвестного] – больше, чем квадрат половины числа [константы]”. В исходном тексте: “quando il cubato del terzo delli tanti è maggiore del quadrato della meta del numero” – “cubato del terzo” – “куб одной третьей”, “è maggiore del quadrato” – “больше квадрата” и т.д. То есть, всё описано словами, и речь о конкретном случае значений коэффициентов. Разительно отличается от современного подхода к изложению материала. Почему (p^3)/27 > (q^2)/4? Об этом сказано буквально через несколько слов.

Пропускаем слова о том, что примеры с таким уравнением Бомбелли разбирает в отдельной главе, читаем дальше и пытаемся разобраться: “соответствующий тип квадратного корня в своём вычислении (Algorismo) требует операций, отличных от всех других, и другого названия” (“la qual sorte di R.q. hà nel suo Algorismo diversa operatione dall’altre, e diverso nome”). Здесь R.q., от Radice Quadrata, – это уже квадратный корень, но терминологическая логика остаётся той же. Почему же речь теперь про квадратный корень, если сначала упомянуты кубические? Потому что здесь написано про “подрадикальный” корень, соответствующий вычислению корня кубического. Собственно, когда вы решаете кубическое уравнение в радикалах, то в процессе решения обязательно возникает квадратное уравнение и квадратные корни. В формуле Кардано они и составляют смысл всей затеи. О чём и пишет Бомбелли далее: “когда куб одной третьей кратности больше квадрата половины константы, тогда нельзя назвать [его] ни больше, ни меньше“. То есть, тут речь про значение “ни с плюсом, ни с минусом”. Необходимо учитывать, что отрицательные числа пока что не используются как класс, привычный сегодня: например, довольно сложно определить, что такое сторона квадрата, имеющая “отрицательную величину”. Поэтому “ни больше, ни меньше” – “ne più, ne meno”, – как операции увеличения и уменьшения чего-то: a + b, a − b.

Формула Кардано имеет вид (a + √b)^(1/3) + (a − √b)^(1/3), то есть, это сумма двух кубических корней, соответствующих R.c.legate Бомбелли, а “ни больше, ни меньше” относится к части √b. Ведь в формуле Кардано b = (q^2)/4 − (p^3)/27, соответственно, если (p^3)/27 больше (q^2)/4, то и получаем отрицательное значение под квадратным корнем. Это и есть та величина, про которую ни сказать, что “она больше”, ни сказать, что “она меньше”.

Дальше: “но [эти элементы] называю “плюс минуса”, там, где их нужно складывать ([увеличивать]), а где их нужно отнимать ([уменьшать]), называю “минус минуса”, и эта операция необходимейшая…” (“però lo chiamerò più di meno, quando egli si doverà aggiongere, e quando si doverà cavare, lo chiamerò men di meno, e questa operatione è necessarissima…”). То есть, в том случае, когда под радикалом отрицательное число, Бомбелли такое сочетание не считает возможным называть, ни “большим”, ни “меньшим” – читай: ни положительным, ни отрицательным, – но называет “плюсом минуса” и “минусом минуса”. Для прототипа i тут вводится специальное, двойное операционное обозначение. Те же “плюс минуса”/”минус минуса” можно перевести и как “больше минуса”/”меньше минуса”. Что это могло бы обозначать? А это больше всего похоже на описание способа выноса мнимой единицы из-под радикала. Например, перепишем (2 − √(-3)) как (2 − i*√3).

Что касается исключительной важности новой операции, которая объявлена “необходимейшей”, то речь тут об уравнениях четвёртой степени (potenza di potenza) разной формы, где подобные радикалы возникают “гораздо чаще, чем другие”.

Далее Бомбелли пишет, что “[подобные радикалы] многим покажутся скорее “софистскими”, чем “настоящими”; такого мнения и я сам придерживался тоже, пока не нашёл для него [радикала] демонстрации геометрической” (“la quale parerà à molti più tosto sofistica, che rale, e tale opinione hò tenuto anch’io, fin’ che hò trovato la sua dimostratione in linee”).

Как ни странно, но геометрическая демонстрация (на плоскости, да), которую Бомбелли приводит отдельно (а я здесь пропускаю), это вовсе не современная геометрическая интерпретация комплексных чисел – с поворотом, углами, мнимой и действительной осями.

Промежуточный итог: Бомбелли рассматривает некоторые “новые радикалы”, отдельный тип квадратного корня, со своим названием и свойствами, как составную часть операции отыскания кубических корней. То есть, в качестве вспомогательного элемента, чтобы операция работала, используется новый объект, который очень похож на мнимую единицу (см. “плюс-минусы” выше), но вовсе не на квадратный корень из минус единицы, как на число вообще и на “рациональное” число в особенности. Далее Бомбелли перечисляет правила умножения “знаков” для нового элемента: “и вначале разберу умножение, определив закон для плюса и минуса” (“e prima trattarò del Moltiplicare, ponendo la regola del più & meno”). На скриншоте ниже – эти определения.

Если новый “минус” заменить на обозначение i, то получится, что здесь написано следующее (пример из: F. La Nave and B. Mazur, Reading Bombelli, 2001):

1. (+)*(+i) = +i
2. (−)*(+i) = −i
3. (+)*(−i) = −i
4. (−)*(−i) = +i
5. (+i)*(+i) = −
6. (+i)*(−i) = +
7. (−i)*(+i) = +
8. (−i)*(−i) = −

Если представить, что “чистый” минус и “чистый” плюс – это подразумеваемые плюс/минус единицы по умножению (как в современной нотации), то получится, что в пятой строке записано (i*i) = i^2 = -1. А это корректное определение мнимой единицы. Может показаться, что обобщив определение квадратного корня в “Алгебре” Бомбелли получаем √(-1) = i, поскольку i*i = -1, но это не так, поскольку Бомбелли не вводит i как “число” или как измерение “стороны”. Это i – приписано сейчас, это некий анахронизм, а в исходном тексте (см. скриншот выше), фигурируют лишь операционные обозначения “плюс минуса” и “минус минуса”. И тем более выделение концепции мнимой единицы оказывается в некотором противоречии с тем, что данные специальные радикалы (R.C.Legata) вводятся непосредственно для выражений вида (a + √d), применительно к кубическим уравнениям. А в современном варианте извлечение кубических корней из комплексных чисел требует формулы Муавра и тригонометрического представления.

Бомбелли находит решение в радикалах для уравнения x^3 = 15*x + 4. Это, пожалуй, второй самый цитируемый фрагмент “Алгебры”. Во времена Бомбелли было известно, что кубическое уравнение всегда имеет один (действительный) корень, а особый интерес представляли только положительные корни. С одной стороны, положительный корень x^3 = 15*x + 4 нетрудно угадать: x = 4. С другой стороны, (4^2)/4 = 4, (15^3)/27 = 125, и формула Кардано даёт для этого уравнения следующее выражение: ∛(2 + √-121) + ∛(2 − √-121). Это как-то не очень похоже на 4.

Вообще, можно найти и некоторые другие озадачивающие варианты значений внутри формулы Кардано для уравнений с очевидным целым корнем, без “отрицательных радикалов”, особенно, если вам знакомо уравнение Пелля, но это тема для другой записки. Что же касается √-121, то это всё равно выглядит сложно. Даже сейчас, для современного взгляда. Потому что, вообще говоря, и значений кубического корня получается несколько, и для случая трёх действительных корней формула Кардано, мягко говоря, несколько бесполезна.

Однако Бомбелли, иллюстрируя свой новый метод, показывает, что (2 + i)^3 = (2 + √-121), если только следовать описанным выше правилам. И действительно, (2 + i)*(2 + i) = (3 + 4i), (3 + 4i)*(2 + i) = (2 + 11i) = (2 + √-121). Соответственно, (2 − i)^3 = (2 − √-121), так сказать, из соображений симметрии (это отмечено у Бомбелли, как ни странно). Поэтому ∛(2 + √-121) + ∛(2 − √-121) = (2 + i) + (2 − i) = 4. Вот только в данном конкретном случае значения нетрудно подобрать под известный ответ. А в других случаях – без рационального аналога тригонометрии с кубическими корнями будет трудновато.

Немного про понимание определения комплексных чисел, и о том, почему “квадратные корни из минус единицы” не должны вызывать никаких проблем и сомнений, сами по себе.

Комплексные числа – это пары действительных чисел (x, y), операции с которыми производятся по следующим правилам:

сумма:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

произведение (пишем иксы слева):

(x₁, y₁)*(x₂, y₂) = (x₁*x₂ − y₁*y₂, x₁*y₂ + x₂*y₁).

Здесь операции внутри скобок – привычные операции в действительных числах. Но интерпретируются строго пары! Из пар можно аккуратно спуститься в действительные числа, зафиксировав один из элементов пары и забыв про то, что это пара элементов (см. ниже).

Собственно, это всё, что нужно для понимания в историческом контексте. Все остальные современные “надстройки” – именно “надстройки”: они вводятся над только что описанной конструкцией.

Сложение для пар проверяется элементарно. С умножением чуть-чуть сложнее, но, например, сразу получается, что i (мнимая единица) это (0, 1). Проверяем для i*i = i^2:

(0, 1)*(0, 1) = (0*0 − 1*1, 0*1 + 0*1) = (-1, 0)

Выходит, в наших обозначениях, i*i = i^2 = (-1, 0). Поэтому-то можно записывать комплексные числа, заданные парой (x, y), в форме x + y*i. Но это просто способ записи (удобный по ряду причин, которые тут не важны).

Вернувшись к парам в скобках, можно все действительные числа записывать в форме (x, 0), где x – любое действительное число, в “привычном” понимании. Это, опять же, соглашение. Тогда получается, что i^2 = (-1, 0) – это и есть -1 (“минус единица” в действительных). Всё сходится. Но обратите внимание, что запись (0, 1) для i – она не укладывается в форму (x, 0). Потому что i не лежит в действительных числах. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому никаких “корней из минус единицы” там быть не может. А вот в виде пар (x, y), с описанными выше операциями, – пожалуйста, можно записывать.

Проверим нужное свойство квадрата для отрицательного числа -121, будем возводить в квадрат число (0, √121). Здесь 0 – слева, а корень квадратный из 121 (положительного!) – справа. Всё это действительные числа. 121 – положительное действительное, нет никаких противоречий:

(0, √121)*(0, √121) = (0*0 − √121*√121, 0*√121 + 0*√121) = (-121, 0).

Сходится. Тут все задействованные числа – действительные. Но тут нет никаких “отрицательных квадратов” действительного числа. Просто, числа связываются в пары. Переход от действительных чисел к парам (от R к R^2, если хотите) – это очень просто. И как только этот переход охвачен пониманием, тут же перестаёт казаться удивительным широко тиражируемый факт, что i – это, как бы, квадратный корень из минус единицы (на самом деле – нет, не квадратный корень, это лишь некоторое наложение обозначений, вполне типичное, – см. ниже).

Вообще, действительные числа – куда как более загадочный объект. Их очень сложно, если вообще возможно, определить. Попытки строгого построения действительных чисел тут же сталкиваются с инструментами анализа, вроде бесконечных последовательностей и сходимости, что неминуемо уводит в философские аспекты математики, начиная с логики и аксиоматического построения теории множеств. Комплексные числа, на этом фоне, выглядят прозаично. И никакой проблемы с “несуществованием” квадратных корней из отрицательных чисел – нет вообще. Да и не было.

Что же придумывали для кубических уравнений дель Ферро, Кардано и другие итальянские математики 16 века?

Они придумывали “калькулятор”, позволяющий находить корни уравнений при помощи зафиксированной последовательности некоторых операций. Это называется “решение в радикалах”. И вот оказалось, что одной из новых операций стала обработка выражений вида √-9. Почему это необходимо для процесса решения кубических уравнений – в максимальной общности объяснил Галуа, в 19 веке. Но ещё в веке 16 стало понятно, что для того, чтобы такие операции заработали в новом калькуляторе, нужны пары действительных чисел. Тогда можно найти пару (0, 3), которая, при умножении на себя согласно правилам, описанным выше, даст (-9, 0), а уже это значение можно спустить в действительные числа, получив там -9 (проверьте сами). То есть, квадрат (0, 3) даёт действительное -9. Да, из-за отсутствия современной нотации это не прописывалось прямо, в формулах, а проговаривалось словами и в других терминах. Отсюда и рассуждения про “тонкости арифметики”.

Итак, мы нашли пару (0, 3). Означает ли это, что мы нашли действительный квадратный корень из отрицательного числа (из числа минус девять)? Нет, не означает. В действительных числах квадрат любого числа, отличного от нуля, – положителен, по определению, и не важно, по какую сторону от нуля это число лежит – квадрат всё равно будет справа, будет положительным.

А что же с “корнем из минус единицы”?

Оказывается, знак радикала (√) тут нужно рассматривать как часть обозначения. То есть, это не операция извлечения квадратного корня в действительных числах, как, например, в случае трактовки √4 = 2. Радикал и “минус единица” – это обозначение внешнего элемента, квадрат которого равен “минус единице”. Поскольку этот элемент, как число, не может принадлежать к действительным числам, радикал идёт тут вместе с записью “минус единицы”. Не более. Аналогично тому, как √2 можно понимать как обозначение числа, квадрат которого равен рациональному числу 2.

Поэтому-то обозначения √-1 следует избегать. Поэтому нельзя использовать такой вариант обозначения в учебных целях (если, конечно, речь не про объяснение того, почему некорректно так делать). Как только знак радикала перепутывается в понимании с привычным обозначением операции, возникает неприятное противоречие – так как, по правилам операции, получается, что i^2 = √(-1)*√(-1) = √((-1)*(-1)) = √1 = 1, что, очевидно, неверно. В общепринятых обозначениях избежать этого можно так: мы обозначаем i как i, а свойства вводим так: i^2 = -1. А в схеме с парами значений – просто пишем (0, 1), и никаких трудностей.

Кстати, в продолжение записки про геометрическую алгебру Евклида и разность квадратов – воскресное чтение манускриптов (давно не было). Как известно, основная часть трудов Евклида дошла до нас лишь в средневековых “копиях копий”. То есть, на манускриптах. Один из важнейших таких манускриптов – Vat.gr.190 из Ватиканской апостольской библиотеки, датируемый девятым веком нашей эры и содержащий тексты “Элементов” (“Начал”). Фрагмент с записью формулировки Предложения 5 из второй книги на древнегреческом приведён на скриншоте ниже.

За исключением комментариев на полях и между строк (схолии), это как раз тот текст, который упоминается в исходной записке (плюс пара строк начала доказательства; сама формулировка заканчивается словом τετραγώνῳ во второй строке снизу на скриншоте, а схолии легко распознать, – не не прочитать, – благодаря другим чернилам и почерку).

А вот чертёж из манускрипта, соответствующий этому Предложению, почему-то подкачал – см. следующий скриншот.

Здесь и точка Γ не делит прямую линию на равные части, и Δ прижата не к той границе. Казалось бы, для геометрии это не так уж важно, смысл не меняется, но всё же.

Древнегреческий подход к математике включал в себя геометрическую алгебру. Основные инструменты этой алгебры описаны, – с доказательствами, – во второй книге “Элементов” (“Начал”) Евклида. Очень хороший пример – Предложение 2.5 (то есть, пятое Предложение второй книги). Там записано следующее:

“Если прямую линию разделить на равные и неравные [отрезки], тогда прямоугольник, сформированный равной и неравной сторонами, плюс квадрат на стороне между [ними], равны квадрату на половине”.

“На половине” – тут имеется в виду квадрат на “равной” части исходного отрезка. Рисунок дан ниже – из него должно быть понятно.

“Прямая линия” у Евклида оканчивается точками, по определению. Сейчас сказали бы, что это отрезок. Но в древнегреческой математике – речь не об отрезке, а о некоторой величине, с которой связаны свои операции. Подход напоминает древние шумерские задачи. И там, и тут – для величин-отрезков вводится своё умножение: два отрезка дают площадь – величину нового типа. Обратите внимание, что операции, вообще говоря, различаются: умножение отрезков позволяет получить площадь, но это не то же самое, что и умножение натуральных чисел (“повторное сложение”, как говорят сейчас). Поэтому получается геометрическая алгебра.

Что именно здесь записано у Евклида? Разделим линию AB точкой C на равные части (половины: AC == CB), и точкой D на неравные (D, например, лежит на отрезке CB, см. рис.). Тогда утверждается, что AD*DB + CD*CD = CB*CB.

Воспользуемся современными алгоритмами и перепишем выражение: CD*CD – CB*CB == AD*DB. Дальше (см. рис.), по построению: AD == CB + CD; DB == CB – CD; следовательно, CD^2 – CB^2 == (CB+CD)*(CB-CD).

То есть, это геометрический вариант известного алгебраического соотношения – разности квадратов. Аналогичные параллели есть и у всех прочих Предложений второй книги “Элементов”.

Кстати, в продолжение недавней заметки про то, что тип float – это не про числа, тем более, не про действительные числа. С точки зрения рекомендаций разработчику ПО.

Вообще, если получается, то никаких float и тому подобных инструментов лучше не использовать. Совсем. Тем более, в воплощении различных sin, cos и прочих. Заменять нужно таблицами целых (в смыcле int) значений и целочисленными, со строго фиксированной справа точкой, арифметическими операциями. Особенно, если речь о программировании систем управления и микроконтроллеров.

Если же не получается совсем отказаться, то есть эффективный способ правильно думать про float. Нужно переменные с типом данных float понимать как алгоритмы, и сравнение таких переменных интерпретировать как сравнение алгоритмов. Это помогает избежать многих ошибок (см. ниже).

Например, во float нет дистрибутивности. В алгоритмической интерпретации это означает, что выражения L := b*(c + d) и L := b*c + b*d – присваивают переменной L разные алгоритмы. И действительно, запись, в которой сперва вычисляется сумма (c + d), а потом результат умножается на b, это другой алгоритм, нежели вариант, когда сперва b умножается на d и b умножается на с, а потом вычисляется сумма результатов (обратите, кстати, внимание, что тут ещё и порядок играет важную роль: сначала b*c или сначала b*d? если с точки зерния параллельных вычислений эти операции могут быть выполнены “независимо” разными потоками, то с точки зрения компилятора, имеющего дело с вполне себе последовательной записью, всё может выглядеть сильно иначе – но это явно тема для другой записки).

Если не упускать этот алгоритмический момент из виду, то оступиться становится сложнее. Так, алгоритмическое восприятие float позволяет отбросить сомнения, что в двух описанных выше случаях из L можно достать разное битовое значение при одних и тех же входных переменных – алгоритмы-то там разные. Естественно, сравнивать алгоритмы сложно, но тут понятие об алгоритме – это лишь средство обобщения, мыслительный гаджет, но такой гаджет, который верно работает.

Лирическое отступление. Это раньше к компьютерными вычислениями подходили с нужной тщательностью и пониманием того, что такое преобразование погрешностей. Сейчас, оказывается, времена ИИ и LLM. Поэтому сказку сильно сократили. К сожалению, уже на практике полагают, что во float – действительные числа, “просто с погрешностью” (“просто”, да). Соответственно, получается, что конкретный математический аппарат, служащий основой проектирования алгоритмов ПО, оперирует действительными числами, синусами и косинусами – здесь всё со всем пересекается, всё максимально гладкое, а поэтому выполняются нужные равенства и теоремы существования. Потом математический аппарат прямо переносят в программный код. После чего, в один не самый ожидаемый момент, вычисления ломаются и предположим, аппарат космический улетает совсем не туда, куда предписывала гладкая и непрерывная модель с синусами и дистрибутивностью.

Историческая перспектива шумерской математики радикально отличается от перспективы математики древнегреческой: если для древнегреческой до нас дошло немало общетеоретических трудов, но зато все в средневековых пересказах, то от древних шумерских математиков общетеоретических документов не найдено совсем, однако есть немало практических и, видимо, учебных материалов, которые сохранились на глиняных табличках. Эти таблички датируют вторым и третьим тысячелетием до н.э. То есть, это прямые свидетельства, а не пересказ. Например, считается, что Евклид работал около 300 года до н.э. А это на две с лишним тысячи лет позже, чем шумерские таблички. При этом среди сколь-нибудь полных записей “Элементов” Евклида самый древний известный экземпляр – это девятый век. Но то девятый век нашей эры, то есть, ещё более тысячи лет спустя. (Фрагменты “Элементов”, естественно, есть и намного старше.)

Евклид для современной математики гораздо важнее, чем задачи с глиняных табличек. Но, так или иначе, есть и у табличек преимущества: едва ли не в каждой современной книге, где приводится рассказ про квадратные уравнения, рассказ этот начинается с того, что квадратные уравнения решать умели ещё древние шумеры, от которых соответствующая математическая теория перешла к древним вавилонянам. Всё это, как минимум, 3600 лет назад. На древних глиняных табличках есть разборы задач, позволяющие посмотреть, насколько те методы отличались от современных.

Вообще, на табличках до нас дошли некоторые пошаговые алгоритмы, которые всегда показаны на численных примерах. То есть, дан детальный и максимально конкретный разбор метода решения задачи в числах. Но как именно сами методы были разработаны – неизвестно, потому что теоретических работ не найдено. Да, разумно будет предположить, что за такой разработкой стояло более абстрактное понимание: вряд ли решение задач, приводящих к квадратному уравнению, было получено перебором алгоритмов. В сохранившихся задачах квадратные уравнения точно есть (см. ниже), но нет, например, абстрактных сведений о корнях таких уравнений и отношениях между корнями.

Разберём один такой конкретный пример математической задачи с глиняной таблички YBC 6967/P255041. Табличка датируется 1900-1600 до н.э., этот период называют “старовавилонским”. Фотографии четырёх её сторон приведены ниже. Небольшая часть клинописных знаков находится на боковушках таблички, но для наших целей это не важно: в этот раз мы не будем расшифровывать сами надписи по отдельным клинописным знакам – главное, что на табличке нет чертежа, а только текст (но осталось место, на котором мог быть быть чертёж).

(Источник: Yale Peabody Museum, YPM BC 021031; картинка есть в большем разрешении.)

Прежде чем читать перевод текста, нужно согласовать некоторые базовые термины шумеро-вавилонской математики. По сравнению с современным сеттингом, есть ряд важных особенностей.

Во-первых, древние шумерские задачи часто ставятся для пар специальных чисел, которые называют “обратными”. Такие числа используются и в типовых задачах с “квадратными уравнениями”, и на табличках с таблицами умножения. Соответствующие клинописные термины обозначают igi-bi и igi. А именно, это такие парные числа, произведение которых равно степени числа 60. 60 является основанием системы счисления, поэтому обратными будут: 4 и 15, 3 и 20, 6 и 600 и т.д. Это система с плавающей точкой, поэтом 60 тоже может обозначаться единицей (откуда и термин “обратные”: это ведь и есть обратные числа, в том смысле, что их произведение обозначается цифрой 1). Данный подход используется и в задаче на рассматриваемой табличке.

Почему, всё же, 60 – это единица? Потому что система счисления позиционная и шестидесятеричная. Например, в десятичной системе обратным к 2 можно назвать 5, потому что 2*5 это 10. Но десять, вроде бы, не единица? Да, если говорить о числе, но не совсем так, если говорить о системе счисления. Если десятичная точка плавающая, то отличить единицу от 10 или от 100 будет сложно. Если мы перемещаем точку вправо, то из 5 получается 0.5, а это уже точно 1/2 – то есть, обратное к числу 2 в привычном смысле алгебры умножения.

Шестидесятеричная система более удобна для точных расчётов, чем десятичная – подробнее про шестидесятеричную систему можно прочитать в отдельной заметке, а здесь все числа, для удобства, будут даны в десятичной записи.

Во-вторых, шумеро-вавилонская арифметическая система использует разные типы операции умножения рациональных чисел. Помимо привычного сейчас “пошагового” умножения “через повторное сложение” используется “геометрический” вариант, в котором два числа соответствуют длинам сторон прямоугольника (квадрата, в случае нашей задачи), а произведение – это площадь прямоугольника (“поверхность”), которая рассматривается именно как площадь, в двумерном евклидовом смысле. Именно этот, второй механизм используется в рассматриваемой задаче. Вот только тут геометрическая интерпретация лишь подразумевается, поскольку чертежей не приводится.

Казалось бы, какая разница, как определять умножение натуральных чисел? Результат же будет одинаковым, разве нет? Но это не так, результат не будет одинаковым. И не только в современной математике, но и в шумеро-вавилонской. Одинаковым, возможно, будет число, но вовсе не сам результат, который имеет тип. Это прямо влияет на сочетание используемых операций. В шумеро-вавилонском методе ещё и используются преобразования, которые, из-за их геометрической сути, просто невозможны для абстрактных чисел: например, ниже мы “присоединяем” одно число к другому – а это означает “склеивание” прямоугольников, когда сумма – это результрующий прямоугольник. То ли для древних вавилонян числа не были достаточно абстрактными понятиями, то ли это следы дидактического приёма, а уровень абстракции, напротив, был гораздо выше – точно не известно: опять же, всё потому, что не найдено теоретических работ.

Так или иначе, но геометрическая интерпретация прямо используется в операциях “присоединения” и “разбиения”. То есть, подразумеваемого объединения или разделения именно геометрических фигур на плоскости. Поэтому шумерские методы решения квадратных уравнений сейчас сплошь и рядом иллюстрируют чертежами. В конце этой заметки тоже будут чертежи – они, действительно, облегчают понимание. Но необходимо учитывать, что в самой шумеро-вавилонской “математике глиняных табличек” геометрические свойства интерпретировались именно через числа (напротив, в древнегреческой математике – это совсем не так). И числа “одномерного типа” у шемер превращаются в числа “двумерного типа”, когда отрезки образуют стороны многоугольника. Обычно, это прямоугольник. Для этого есть специальная операция. Превращение двух “чисел-отрезков” в одно “число-площадь” дальше будем называть “восстановлением”: а именно – 15 и 4 восстанавливаются в единицу (то есть, в 60).

Вернёмся к табличке. Набранный на ней текст содержит формулировку задачи с пошаговым объяснением того, как эту задачу решать.

Упрощённый перевод, где в скобках даны мои комментарии (адаптировано из Jens Høyrup, Algebra in Cuneiform, 2013):

Из пары обратных чисел (то есть, те самые igi-bi и igi), одно превышает другое на 7.
Чему равны эти обратные числа?
Возьми 7, на которое одно число другое превышает, и разбей на две части: 3½. (Здесь “разбей” – нужно интерпретировать как деление отрезка пополам.)
Восстанови два 3½, результат: 12¼. (А это и есть геометрическая операция получения квадрата на двух равных отрезках, задающих стороны.)
Присоедини 12¼ к исходной площади, равной единице: 72¼. (Обратите внимание: единица здесь – есть первая степень 60 в терминах шумеро-вавилонской системы счисления, то есть, 60 + 12¼ == 72¼.)
Чему равно 72¼? Это 8½. (“Равно” здесь – это обратное геометрическое преобразование, от квадрата, как фигуры, к стороне: то есть, сторона квадрата с площадью 72¼).
Теперь отметь 8½ и соответствующее 8½. (В смысле сторон квадрата.)
3½, элемент площади, отсоедини и присоедини на место. (8½ – 3½ == 5; 8 + 3½ == 12; заметьте ещё раз: (8½)^2 – (3½)^2 == 60.)
Первое число – 12, второе – 5.
12 есть одна часть пары, 5 – вторая. (Те самые igi-bi и igi.)

Попробуем не рисовать чертёж, а сразу понять, какая тут задача, в числах. Первая строка условия говорит, что произведение некоего числа на сумму этого же числа и 7 равно 60. Собственно, если обозначить искомое число x и записать всё в формулах современной алгебры, то и получаем квадратное уравнение.

x(x+7) == 60
x^2 + 7*x == 60
x^2 + 7*x - 60 == 0

Как такую задачу решает школьник сейчас? Очень просто – что называется, не задумываясь:

x^2 + 7*x - 60 == 0,
D == 7^2 - 4(-60) == 289,
(x_1, x_2) == (-7 +/- √289)/2 = (5, -12).

Ответ -12 - не подходит (кстати, почему?); выбираем ответ 5. 
У нас прямоугольник, одна сторона равна 5, вторая, по условию, 5 + 7 == 12. Ответ: 12 и 5.

Но на исходной табличке нет дискриминанта, там, в современных обозначениях, записано несколько другое преобразование:

Исходная площадь 60, то есть, "единица", которую обозначим q.

Пусть p - разность сторон (второе число на 7 больше, то есть, p == 7).
 
x(x + p) == q

Тогда p/2 это половина разности (7/2).

(x + p/2)^2 == q + (p/2)^2 - то есть, строим больший квадрат, его площадь равна 72¼ (см. правую часть).

Дальше, по табличке, – “геометрически” извлекаем квадратный корень из левой части: то есть, определяем, что отрезок x + p/2 равен стороне квадрата с площадью 72¼. А именно: 8½.

Если переписать в современных обозначениях, то получим то, что принято называть выделением полного квадрата. Именно так и выводится формула для решения квадратного уравнения:

(x + p/2) == sqrt(q + (p/2)^2),
x == -p/2 + sqrt(q + (p/2)^2).

Здесь p, q это коэффициенты из x^2 + p*x + q == 0.

Выходит, квадратные уравнения в образовательных целях решают, как минимум, 3600 лет. Cкорее всего – ещё дольше. Это тем более удивительно, что утилитарное применение, – так сказать, в быту, – для квадратного уравнения найти непросто и сейчас (попробуйте найти), что уж там говорить про старовавилонские города и фермы. Пример на табличке больше похож на синтетический элемент некоторой эзотерической практики, чем на задачу, скажем, для земелемера. А вот внутри математики, конечно, квадратные уравнения просто незаменимы. Так что теоретический аспект в шумеро-вавилонской математике должен был существовать, но его следы, почему-то, потеряны. Может быть, записей теории было очень мало, и они выполнялись не на глиняных табличках.

Особенно интересно, что в древнем вавилонском царстве, судя по всему, уже были специально обученные инженеры-информатики, которые проводили ответственные вычислительные операции, используя достаточно универсальные алгоритмы. Считается, что класс подобных задач в древневавилонских методических материалах не требовал чертежа: древние инженеры должны были разбираться с геометрической алгеброй без диаграмм, несмотря на то, что тут современное понятие площади непосредственно служит для воплощения интерпретации числа. Описанное выше уравнение более “квадратное” как раз потому, что квадрат числа – это, буквально, квадрат, как многоугольник с соответствующей площадью. Математические таблички с чертежами, впрочем, тоже имеются в музеях. Но их мало.

Теперь посмотрим на чертёж к задаче.

Условие соответствует верхней диаграмме. Остальные – объяснение метода решения.

Дистрибутивность умножения относительно сложения означает, что a*(b + c) = a*b + a*c. В действительных числах, по определению, умножение дистрибутивно относительно сложения. Запишем это на Pyhton и посмотрим, что напечатает простая программа.

import math

q = 11*(math.sqrt(5) + math.sqrt(17))    # q = a*(b + c)
p = 11*math.sqrt(5) + 11*math.sqrt(17)   # p = a*b + a*c
print(p == q)                            # q == p => (q - p) == 0

q = 34*(math.sqrt(5) + math.sqrt(17))
p = 34*math.sqrt(5) + 34*math.sqrt(17)
print(p == q)                            # ???

Запускаем (Python 3.11.2) и смотрим:

True
False

В коде, в первом случае, написано:

p = 11*(√5 + √17),
q = 11*√5 + 11*√17.

Значения p, q сравниваются. Программа выводит True – значения равны. Что и следовало ожидать, если бы это были действительные числа: по определению, q и p – это одно и то же число.

Во втором случае написано всё то же самое, алгебраически, но другой множитель:

p = 34*(√5 + √17),
q = 34*√5 + 34*√17.

Удивительно, но результат сравнения p и q теперь False – числа не равны.

Да, конечно, причина в представлении типа float в компьютерной памяти: для 34 порядок округления сыграл свою роль – результаты разошлись в одном разряде. Обычно полагают, что этот пример лишь показывает ограничения битового представления float (и других типов). Но вообще-то основной вывод тут должен быть другим: для float не выполняется дистрибутивность умножения. То есть, операции с float – это операции с float, а не операции с числами, тем более, с действительными.

Компьютеры не работают с действительными числами. Потому что это невозможно. Да, натуральные, целые, рациональные – это подмножества действительных (с которыми подмножествами компьютеры тоже не работают, кстати). Но если вы случайным образом бросите точку на числовую прямую, то попадёте в иррациональное число. Запись этого числа в виде десятичной дроби – бесконечный процесс, который, впрочем, может быть формально определён – получится алгоритм вычисления конкретной записи числа (вспомним формулы для π, например).

Однако действительных чисел, которые для записи требуют выполнения бесконечного процесса, несравнимо больше, чем всех возможных записей алгоритмов, потому что множество записей алгоритмов – счётно. То есть, если вы действительно поверили в вещественные числа (каламбур), то возможных задач для решения на компьютере оказывается несравнимо больше, чем задач, которые можно было бы попытаться решить.

Да, символьные вычисления, с успехом выполняемые компьютерами, позволяют работать с “иррациональностями”. Но символьные вычисления происходят в других математических структурах (в других кольцах, если хотите строго) и не работают с десятичной записью действительных чисел. То есть, если записывать √2 как символ “√2”, – в том смысле, что это обозначение числа, квадрат которого равен двум, – то тут проблем нет. Но совсем другое дело – преобразование десятичной записи.

Почему это важно? Потому что алгоритм, построенный “в действительных числах” с дистрибутивностью, не будет правильно работать на реальном компьютере. Во float возникает плохое “ветвление”: например, там, где по определению действительных чисел должен быть всегда нуль, внутри float получаем нуль в одних точках, ненулевой результат – в других. Скажем, если вернуться к примеру выше, будем вычитать q из p. Ещё актуальный пример: представьте, что программа какой-нибудь нейросети обрабатывает миллиарды коэффициентов, но разработчик принял, что эта программа “работает в действительных числах” и поэтому разработчик не то что не учитывает, но даже и не рассматривает возникающие искажения.

Естественно, в хороших практических разработках это учитывается. Существенная часть практических алгоритмов в том же “машинном обучении” (Machine Learning – ML) как раз относятся к преобразованию подобных погрешностей. Корректная работа с погрешностями вообще очень важна при вычислительной обработке экспериментальных данных. Но почему-то всё равно приходится постоянно встречать утверждения, что “ML работает в действительных числах”.

(Это существенно дополненная версия статьи, которую я недавно публиковал на “Хабре”. Дальше используются клинописные знаки из Unicode. Если в тексте на вашем устройстве клинопись не отображается, то это из-за отсутствия шрифтов; добавьте шрифты с клинописным блоком, cuneiform; например – Noto.)

На древних глиняных табличках из Месопотамии встречаются математические тексты с достаточно сложными вычислениями. Кроме прочего, для записи чисел использовалась шестидесятеричная система, которая имеет существенное «компьютерное» преимущество перед современной десятичной. Древняя шумеро-вавилонская система счисления это позиционная система по основанию шестьдесят: каждой позиции соответствует количество единиц, умноженное на степень 60, значения позиций – суммируются. Обычный способ. Шумеро-вавилонская клинописная цифра 42 выглядит так: 𒐏𒐖. И это именно цифра, которой может соответствовать и число 42, и 2520, и 151200 и так далее (всё в десятичной системе), по степеням 60. То есть, 42, как число, – это 42 единицы, для 60^0 (в нулевой степени). А десятичное 151200 – это 42 * 60^2. И так далее. Доли представляются по обратным степеням основания, например: 42 * 1/60, 42 * 1/(60^2) == 42 * 1/(3600).

Поскольку основание 60, то нужно 59 цифр. Откуда и цифра 42 (конечно, 42 тут – это условное обозначение, поэтому к нему даже можно не приписывать указание на десятичную систему).

В клинописной записи отдельных цифр вертикальные “палки” обозначают единицы, если их количество не превышает 9, а “галки” – обозначают десятки, что, впрочем, не делает систему десятеричной. Так, 𒐏𒐖 – это четыре “галки” и две “палки”, соответственно: 10 * 4 + 2 * 1. (Кстати, с какой стороны тут правильно писать количество знаков, а с какой – вес? Это ещё один пример того, что порядок записи важен, и логическая часть практически всегда некоммутативная.)

Вообще, древнейшние шумерские системы счисления использовали для записи цифр круги и “полуовалы” – примеры есть в отдельной записке. “Галки” и “палки” появились позднее, когда система стала логически стройнее.

(Очень древняя табличка. Credit: Metropolitan Museum of Art.)

На иллюстрации выше – пример таблички (3100–2900 B.C.) со знаками, соответствующими кругам и “полуовалам” по способу построения. Видимо, это учёт кувшинов и мехов – нарисованы рядом. Точная интерпретация значений цифр на самых древних табличках трудна, так как система ещё не имела строгой типизации: в самых древних шумерских вариантах интерпретация цифр зависела ещё и от того, что именно подсчитывается. Использовался ли знак для обозначения мер зерновых, для записи количества кувшинов масла или площади земельного надела – числовое значение могло быть разным. Это в точности современный Javascript, неявно преобразующий строку в числовой тип.

Что касается Javascript, то это эквивалентные операции. Не сомневайтесь. Многие неотъемлемые части информационных технологий очень древние. Предположим, неявное преобразование типов приводит ASCII-код записи “42” в значение целочисленного типа 42. Это означает, что последовательность байтов 0x3432, превращается в 0x2A. Но парой байтов были обозначены ASCII-символы! У древнейших шумер были бы, предположим, кувшины с пивом, а не ASCII-символы. Не удивительно, что эффект позднее исправлен (но не в Javascript).

Протоклинописных кругов и “полуовалов” всё ещё нет в стандартном Unicode. Но есть предложение по добавлению нужных символов.

На этой иллюстрации – фрагмент таблицы начертаний древних шумерских цифр, которые предлагается добавить в соответствующий блок Unicode. Из состава таблицы нетрудно сделать вывод, что композиций протоклинописных знаков, встречающихся на табличках, гораздо больше, чем простой круг и не менее простой “полуовал”. Ещё больше вариантов образуется в результате интерпретации исходной записи. Скорее всего, недостаток детализации и отсутствие арифметической строгости беспокоил и древних пользователей. Поэтому способ записи модифицировали, заменив круглые цифры на системы “галок” и “палок”. Получилась, так сказать, более привычная шестидесятеричная клинописная система. Способ записи стал стройнее, а шумеро-вавлионские цифры – стали более доступными для современного взгляда. Эта система более привычна и в смысле Unicode.

Шумеро-вавилонская система счисления имеет целый ряд особенностей. Например, способ записи не подразумевал явного обозначения степени конкретной позиции: сколько там весит единица – 60, 60^3 – всё определялось контекстом. Таким образом, это древнейшая система с плавающей точкой! И она на несколько тысяч лет старше всем привычных float, double, как и современных стандартов “плавающей точки” вообще. Впрочем, если в современных стандартах бывает два нуля, – вообще говоря, не равных друг другу, – то в шумеро-вавилонской системе настоящего нуля, как такового, вообще не было. В более поздних вариантах появился знак для заполнения пустых разрядов – пара диагональных клиньев, – но он использовался только для разрядов, находящихся между другими цифрами, а не для обозначения порядка вообще, то есть, не использовался на конце записи, как в случае 1000.

Выбор числа 60 в качестве основания имеет арифметическое обоснование. У шестидесятеричной системы большое преимущество, если сравнивать, например, с десятеричной, а тем более – с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной. Всё потому, что число шестьдесят – “очень непростое”: 60 = (2 * 2) * 3 * 5. В результате, арифметика записи по основанию шестьдесят оказывается удобной для отображения долей целых – можно самые ходовые доли записать точно: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/10, 1/12, 1/15, 1/20, 1/30, ведь знаменатели здесь являются делителями 60. “Точная запись” же означает, что для обозначения не придётся использовать бесконечную запись, как 0.333(3) для 1/3 в десятеричном случае. О точности более подробно рассказано ниже. Прежде чем перейти к дробям, нужно получше разобраться с шумерскими клинописными цифрами.

Итак, цифрами служили комбинации клинописных знаков. Мы уже назвали их “галки” и “палки”, что соответствует их начертанию и в Unicode, и на табличках. 𒌋 – это “галка”, которая соответствует десяти единицам; 𒐕 – это “палка”, которая соответствует единице. Единицы в количестве менее десяти записывались в виде плотного набора “палок”: 𒐛 – это семь. 𒌋𒌋𒐗 – это цифра, которой, если считать цифры по порядку, соответствует число 23, записанное десятично. “23”, как цифра, – не обязательно обозначает число 23. “Галки” повторялись кратно десяти единицам: 𒌋𒌋 – двадцать. Группироваться наборы “галок” и “палок” могли произвольно, что может затруднить разбор. Мы будем использовать запись, когда единицы переходят на вторую “строку”, если их больше четырёх, а десятки – группируются вертикально: 𒐏𒐝 – это цифра 49. Можно считать, что число 49 это порядковый номер сорок девятой цифры.

Возьмём снова цифру 23: 𒌋𒌋𒐗. В зависимости от позиции и от контекста эта цифра может обозначать единицы, то есть нулевую степень основания (60^0 == 1), или единицы при 60^1, или единицы при 60^2 = 3600. Соответственно, 𒌋𒌋𒐗 (“23”) в позиции единиц – это число 23 в десятичной системе. 𒌋𒌋𒐗 в позиции 60^1 это 23 * 60 = 1380 (в десятичной). А для второй степени: 23 * 60^2 = 82800 (десятичная).

(Цифра 42)

На коллаже выше – клинописная цифра “42” шумеро-вавилонской системы счисления. Вверху – современная запись (Unicode + шрифт, поддерживающий клинопись). Ниже – два варианта записи той же цифры на табличках: P493016 (середина коллажа) и P257557 (внизу). Обе таблички датируются 1900-1600 B.C. При этом на нижней табличке использован способ группировки десятков в цифрах, который отличается и от варианта на табличке в центре, и от варианта Unicode. Но, думаю, теперь нетрудно догадаться, где там что.

Позиции в записи чисел разделялись пробелами, что не всегда однозначно, из-за того, что нуля не было. 𒐖 𒌋𒐗 это, например, 2*60^1 + 13 = 133. Почему “например”? Потому что это система с плавающей точкой. 𒐖 𒌋𒐗 с тем же успехом можно интерпретировать как 2 + 13/60. Здесь 13/60 = 13*(1/60) – это интерпретация 𒌋𒐗 как 13 “обратных” долей, по степени 60^1. То есть, плавающая точка переплывает вправо на одно знакоместо. Такой произвольный сдвиг точки очень удобен с точки зрения вычислений по таблицам значений, мы в этом убедимся на примерах далее. И если данная особенность сильно помогает при практических вычислениях, то она же мешает при считывании результата спустя всего лишь три-четыре тысячи лет.

Выходит, что с шумерскими цифрами всё достаточно просто: это различать клинья на реальных табличках трудно, но не схему записи.

Использование шумерской шестидесятеричной системы счисления в точности являлось прикладным случаем того, что сейчас принято называть “компьютерными науками” (computer science). Поэтому очень полезен сравнительный взгляд, учитывающий другие позиционные системы счисления, используемые в информатике и в тех самых компьютерных науках сейчас.

Старинная шутка гласит, что типов людей всего 10 – одни уже знают двоичную систему счисления, а другие – ещё нет. Система счисления – это способ записи чисел. Разные системы хорошо подходят для разных целей. Так, двоичная система подходит не только для записи шуток (0b0010 == 2), но и служит неплохим математическим фундаментом “железячных” компьютерных вычислений: компьютеры, как известно, не считают, а переключают транзисторные “флип-флопы”. Успешная интерпретация таких переключений возможна только потому, что есть двоичная система счисления.

Использование систем счисления с разными основаниями является привычной практикой: кроме двоичной и десятичной, распространены восьмеричная и шестнадцатеричная. Восьмеричная система, конечно, встречается нынче реже, чем шестнадцатеричная, но всё равно постоянно присутствует рядом с вами, если вы сетевой инженер или разработчик системного ПО. Например, один из штатных способов записи IP-адреса, при вызове тех или иных утилит, использует восьмеричную систему, вот так: 010.010.010.010 – это будет 8.8.8.8 в привычной форме по основанию 10 (десять). Согласно древнему соглашению, октет IPv4-адреса, начинающийся с нуля, интерпретируется как записанный в восьмеричной системе. На глиняных табличках из Месопотамии об этом ничего не сказано, но, из-за базовых unix-библиотек, такое преобразование сейчас касается не только октетов.

А вот шестнадцатеричная система вряд ли нуждается в примерах: этот вариант встречается в практике программирования почти так же часто, как и система десятичная. И не только в программировании. На стороне веб-фронтендеров в шестнадцатеричной системе повсеместно записываются цвета внутри каскадных таблиц стилей (CSS). По основанию 16 очень удобно записывать байтовые маски: запись получается не такой длинной, как в двоичной, а один октет укладывается в две цифры.

В древние времена, когда компьютеры были редкими и очень большими, данные в память вводили вручную, нажимая кнопки-биты и перещёлкивая тумблер записи. Если ваш компьютер работал на байтовых ячейках, – то есть, в один октет, восемь бит, – то опытный оператор мог каждую шестнадцатеричную цифру заданного значения моментально “выкинуть” на четырёх пальцах руки: каждый палец – один бит. Если бит установлен, то и палец выставляется вперёд, для нажатия на кнопку системы набора. 0xF – четыре пальца. 0x8 – указательный или мезинец, в зависимости от того, “тупоконечные” у вас пальцы или “остроконечные”. Не в смысле формы, а в смысле того, с какой стороны старший бит байта в представлении вашего компьютера. И так далее – прочие варианты “распальцовок” читателю предлагается отработать самостоятельно. Нынче навык сей доступен разве что редкому динозавру-технарю, да и не так полезен, однако верная распальцовка всё ещё может быть эффективно использована в беседе с молодыми DevOps, для пущего их убеждения. Заметьте, что две руки – это байт, а большим пальцем можно ловко перещёлкнуть тумблер записи, перейдя к следующему адресу. Хотя, тумблеров на компьютерах больше нет.

Не факт, что старшинство указательного пальца, взятое по модулю “хиральности” (правой/левой руки), оказало влияние на развитие систем счисления. Но вполне возможно, что принцип счёта по трём фалангам каждого из четырёх пальцев при помощи пятого прямо связан с двенадцатеричными системами, которые мы здесь не рассматриваем. Впрочем, как раз 12 * 5 == 60.

Выше мы заметили, что основание 60 позволяет едва ли не каждую привычную на практике долю записать точно. Благодаря этой возможности шестидесятеричная система превосходит десятеричную и другие упомянутые системы. Разберёмся, что именно тут имеется в виду.

Всякую позиционную систему счисления можно использовать для записи дробей: возьмём обратные степени основания {-1, -2, -3…} и станем записывать дробную часть, отделив её от целой каким-нибудь знаком. Точкой, например. Это уже было проделано выше. Для десяти – получаем всем привычные десятичные дроби: 0.4242. Точно так же будут работать и двоичная, и восьмеричная, и шестнадцатеричная система. Нет разницы. Только вот с записью долей таким способом возникнет сложность иного рода: запись окажется “бесконечной вправо” (ну, если записывать числа и расставлять веса справа налево; “бесконечная влево” запись – это p-адические числа, другая тема, пусть и неожиданно близкая).

Так, 16 – это 2^4. То есть, основание шестнадцатеричной системы, при всём богатстве выбора, какое-то слишком “простое”, и проблемы начнутся с нечётными знаменателями в долях вида a/b.

Например, 1/5 == 0x0.33(3) – всё в шестнадцатеричной системе, а тройка здесь – в периоде (обозначается скобками). “В периоде” – это значит, что развернутая запись никогда не окончится. Однако в десятичной записи 1/5 == 0.2 – и точка. “Периода” нет, запись терминируется тут же. И это одно и то же рациональное число – одна пятая.

Да, формально, и 0x0.33(3), благодаря возможности обозначить “периодические цифры”, это точная конечная запись для 1/5. Да, к 0.2, если уж быть максимально строгим, должен быть приписан бесконечный хвост нулей – 0.2(0), но его принято не указывать (да вообще мало кто помнит, что он там есть, но его не видно; как и про второе представление с бесконечно повторяющимися девятками, для десятичной системы). Это всё так по определению, а требуется по тем же причинам, по которым в десятеричной (десятичной) системе 0.9(9) == 1.

Казалось бы, сложно ли записать (3) как период? Всего лишь скобки. Однако проблема в том, что длина периодической части может быть произвольной, не обязательно лишь одна цифра повторяется.

Заметьте, что 0x0.3 * 0x5 == 0x0.F. Аналогично тому, как 0.3 * 3 == 0.9. Но почему в десятичной системе 1/5 = 0.2? Потому что 10 == 2*5. Соответственно, все числа, представимые в виде 2^n * 5^m, будут регулярными в десятичной системе: “обратные” к ним можно записать в виде конечной дроби. Шестнадцатеричная же система имеет основание 2^4, а число 5 нельзя представить в виде 2^n, отсюда и дробная часть в периоде.

По тем же причинам 1/7 = 0x0.249(249). Шестнадцатеричная система. Три цифры – период.

А вот для 1/(7^11) период шестнадцатеричной записи после запятой составит 847425747 цифр (цифры записи будут шестнадцатеричные, но их количество – записано в десятичной системе, проверьте на калькуляторе). Так что проблема точной записи, даже если позволяется вводить дополнительную структуру и указывать период в скобках, – остаётся. Кстати, поскольку в разложении 10 есть 2, то найти столь же иллюстративный обратный пример – число, которое “хорошо” представляется в шестнадцатеричной системе, но “плохо” в десятичной, – не выйдет.

Будем обозначать клинописные цифры десятичной записью соответствующего числа, разделять цифры будем запятой “,”, а точку-разделитель целой и дробной части (мантиссы) – обозначим точкой с запятой (“;”). Это общепринятый сейчас способ. Тогда 1/7 в шестидесятеричной шумеро-вавилонской системе это 0; 8,34,17(,8,34,17) или клинописью:
𒐜 𒌍𒐘 𒌋𒐛 𒐜 𒌍𒐘 𒌋𒐛… (тут цифры повторяются с периодом три).

А что ещё за “обратные” числа? Например, в десятеричной системе деление на два эквивалентно умножению на пять с последующим сдвигом десятичной точки. Элементарный пример: 7/2 = (7 * 5)/10 = 35/10 = 3.5. В шестидесятеричной системе основание делится не только на 2 и 5, но ещё и на 3, и в шестидесятеричной системе регулярные числа – это все те, которые представимы в виде 2^n * 3^l * 5^m. Здесь, как мы разобрались выше, много делителей – [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60], – поэтому сдвиг плавающей точки предоставляет больше возможностей для практических вычислений по таблицам.

В древней шумеро-вавилонской практической арифметике деление одного числа на другое выполняется с помощью специальных таблиц, записанных на глиняных табличках. Чтобы найти отношение A/B, древний инженер-информатик берёт “таблицу обратных” и находит число, обратное к B. Обратите внимание, что это не совсем те привычные обратные по умножению, не совсем B^(-1) – обратное здесь берётся по основанию системы счисления. Так, в десятеричном примере выше (про деление 7/2), обратное к 2 – это 5. Почему? Потому что 5 * 2 = 10, то есть 2/10 при умножении на 5 дают единицу.

Снова вспомним, что у нас плавающая точка. Цифра 1 в нулевом разряде, если сдвинуть точку вправо на одну позицию, даст запись числа 10, на две позиции – 100, и т.д. Поэтому, определив обратное 5 в десятеричном примере, остаётся просто посмотреть в таблицу умножения для 5, найти там 5 * 7 == 35, выписать ответ и не забыть сдвинуть десятичную точку: 3.5. Так что именно плавающая точка позволяет нормировать имеющиеся числа, приводя их к удобной для вычислений форме записи. Шестидесятеричная система действует так же, но у неё больше возможностей для точных вычислений, чем у десятеричной. Умение работать с таблицами обратных и с таблицами умножения очень актуально, ведь в древней Месопотамии нет даже механических арифмометров (ну, скорее всего, их либо нет, либо они слишком дорого стоят). А вот глиняные таблички умножения и взятия обратных для шестидесятеричной системы – есть.

Разделим 10,30 на 1,15. Это уже шумерские цифры (см. нотацию выше). То есть, 10,30 == 630 в десятичной, а 1,15 == 75 в десятичной. Найдём обратный к 1,15 – это 48, потому что 1,15 * 48 == 1, а именно – 3600 в десятичной записи; выше мы разобрались, что в шумерской системе нет строгой разбивки по позициям, поэтому единица для 3600 соответствует позиции с весом 60^2. Найдём результат умножения 48 на 10,30. Это 8,24 (нуля у нас нет – не забывайте). Как получилось 8,24? Скорее всего, для шумерского инженера-информатика это табличный результат – то есть, он должен быть уже записан на глиняной табличке умножения. Если же не записан, то инженер-информатик быстро вычислит его в уме, поскольку хорошо владет шестидесятеричной системой.

Посудите сами: 30 – это половина от “единицы”, то есть, половина от основания системы, от 60. Соответственно, умножать на 30 просто – работает так же, как умножение на 5 в десятеричной системе: умножаем на 1 и берём половину. Но 1, конечно, это 60 в десятеричной. То есть, нужно взять половину от значения цифры 48 – записываем цифру 24, всё в соответствии с таблицей умножения. И не забываем, что позиция плавающей точки только что сдвинулась вправо, ведь при умножении 48 на единицу, мы взяли эту единицу в позиции с весом 60, но исходная цифра 48 – это количество единиц в позиции с весом тоже единица (60^0). Естественно, если корректно отслеживать положение плавающей точки, то метод работает для любой позиции цифры 48. Так что – обычное быстрое умножение, сдвигами.

Теперь цифра 10 из 10,30. 10 – это одна шестая от основания системы, тоже удобно. Умножаем на единицу и берём одну шестую. Одна шестая от 48 – это 8. Поэтому и цифра будет 8, но она должна стоять в правильной позиции – то есть, на одну позицию левее. Перенос плавающей точки здесь соответствует “переносу единиц” в привычном умножении столбиком в десятеричной системе, но из-за большого количества делителей основания системы 60, схема оказывается более эффективной.

Итак, получили 8,24, в шумерских цифрах. Обратите внимание, что сейчас, после умножения “на обратный”, 8 находится в позиции с весом 60^2, а 24 – в позиции с весом 60. Поставим “плавующую точку” на место, сдвинув, как положено, на две позиции левее, и получим верный результат: 8; 24.

То же самое в клинописных цифрах, как это делал бы инженер-информатик в Месопотамии несколько тысяч лет назад, засечками на глине:

𒌋 𒌍 / 𒐕 𒌋𒐙 (здесь “слеш” – знак деления),

обратный: 𒐏𒐜, умножаем по таблице: 𒐏𒐜 * 𒌋 𒌍.

Результат: 𒐜 𒌋𒌋𒐘 – и через те самые несколько тысяч лет придётся догадываться, где же здесь стоит плавающая точка.

Всё это так хорошо работает потому, что 48 == 2^3 * 6, 10 == 2 * 5, 30 == 5 * 6 и т.д. Это всё регулярные числа, которые записываются точно в шеcтидесятеричной системе. Чуть выше мы нашли, что 1/7 в шумеро-вавилонской системе нельзя представить точно, потому что запись будет бесконечной: 𒐜 𒌍𒐘 𒌋𒐛 𒐜 𒌍𒐘 𒌋𒐛… Так происходит потому, что 7 – взаимно простое с основанием 60.

Знали ли об этом древние шумеры и вавилоняне? Скорее всего, да, знали, но трактовали это явление иначе, чем сейчас: для древнего шумерского инженера-информатика рациональное число 1/7 было бы не “рациональным”, а “невозможным”, в том смысле, что такую долю невозможно записать точно в шестидесятеричной системе, поэтому в точных таблицах нет обратного значения. Непонятно, как считать, поэтому 1/7 не должна встречаться на практике. Конечно, если 1/7 всё же встретилась, то инженеру-информатику пришлось бы воспользоваться таблицами “приближённых” значений, подобрав подходящий интервал. Такие таблицы тоже имелись, но их наверняка старались избегать, ведь иначе шестидесятеричная система оказывается избыточной.

Повышение уровня абстракции – полезный и важный элемент процесса обдумывания, так как позволяет задействовать механизм “разрешения противоречий”. Если такой механизм есть, конечно.

Возьмём пару цитат и ещё одну, не менее замечательную:

“Нас невозможно сбить с пути, нам всё равно, куда идти”
М. М. Жванецкий(?), (есть вариант “никому не сбить”, не важно).

“У самурая нет цели – только Путь”
“Хагакурэ”, Ямамото Цунэтомо. (Иногда напоминаю коллегам эту важную максиму.)

Это почти об одном и том же. В первой цитате – всё равно, куда идти, но идти необходимо, иначе исчезает содержательная часть. Именно ход создаёт путь, который, по определению, тут не может вести к конкретной цели. Цели нет. Только Путь. Как и у самурая из второй цитаты. Почти.

“Всё равно куда” перекликается с одной из самых знаменитых цитат из “Алисы в Стране чудес”:

”
– Скажите, пожалуйста, куда мне отсюда идти?
– А куда ты хочешь попасть? – ответил Кот.
– Мне все равно… – сказала Алиса.
– Тогда все равно, куда и идти, – заметил Кот.
– …только бы попасть куда-нибудь, – пояснила Алиса.
– Куда-нибудь ты обязательно попадешь, – сказал Кот. – Нужно только достаточно долго идти.
“
Л. Кэрролл.

Эта цитата содержит машинерю, позволяющую детально разобрать две предыдущих цитаты. Всё равно, куда идти. Но если идти достаточно долго, то куда-нибудь попадёшь. Долгий ход, как сейчас говорят, “определяет”. Если недостаточно долго идти, то не получится дойти даже куда-нибудь (настолько размытое пространство). Как понять, что идёшь уже достаточно долго? Нужна точка отсчёта, иначе всякий раз может оказаться, что ход недостаточно долгий и никуда не приводит. Где предельный переход? Возможен ли он? У самурая нет этих проблем, из-за глубинных свойств его пути.

Занятно, что, согласно “Алисе в Стране чудес”, даже когда путь отделяется от цели, он обязательно приводит куда-нибудь. Это здесь чисто категорийное свойство пути – приводить куда-то. Стрелка.

К сожалению, такое определение недостаточно абстрактно: выходит, что если начать просто “идти” и “идти”, то это ещё не путь. В “невозможно сбить с пути”, не только путь появляется раньше цели, но и сказано, что куда-то мы должны идти. Да, всё равно – куда, но ведь – куда-то! Тем не менее, попытка отделить свойство, создающее путь, от цели, через “невозможность сбить с пути”, это абстракция достаточно высокого уровня, чтобы начать строить теорию категорий. Удивительно.

Тут-то и можно заметить преимущество положения самурая из самурайской цитаты, по сравнению с ситуацией “всё равно куда”. Во “всё равно куда” – цель неявно проступает, если попытаться задуматься и начать искать способ разрешения противоречий: как определить, что всё равно, куда? Ведь “куда” подразумевает некоторое направление пути, почти что цель. Для “куда” нужно ввести дополнительные понятия, чтобы отличать одно “куда” от “другого”. А про самурая нельзя сказать, что ему всё равно, куда идти. У самурая отсутствие цели постулируется, так что “куда” – просто не возникает. Все “куда” поднимаются для самурая в Путь (см. иллюстрацию).

Дзен самурая – дзен более высокого уровня, на фоне которого “всё равно куда” выглядит некоторым мельтешением: суетятся, бегают куда-то, всё равно, куда – лишь бы бегать. Самурай не суетится. У самурая нет цели. Только путь.

Шумеро-вавилонские записи чисел на глиняных табличках не всегда использовали знаки “клин” (“палка”) и “галка”. Более древний вариант основан на круге и “полуовале” – см. иллюстрации.

(Image: Cuneiform Digital Library Initiative)

Выше – очень старая табличка, которую датируют 3200-3000 годами до нашей эры. Отпечатки выполняли при помощи цилиндрического стилуса. Расположив стилус вертикально и вдавив его в табличку – получаем круг; тот же стилус под наклоном – даёт в отпечатке “полуовал”. Использовались стилусы двух диаметров. Круг меньшего диаметра – это десять. “Полуовал” меньшего диаметра – единица. Круг большего диаметра – три тысячи шестьсот (3600 = 60^2). “Полуовал” большего диаметра – шестьдесят. Отпечатки меньших кругов могли вкладываться в большие отпечатки: получалось, видимо, 36000 (3600 * 10) и 600 (60 * 10).

(Image: Cuneiform Digital Library Initiative)

Другая табличка с таким же принципом записи цифр, датируемая 2600-2500 годом.

Вот это и есть настоящие “круглые цифры”.